Um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com a equação
x=(6,12 m) cos [(8,38 rad / s) t+1,92 rad]
Determine (a) o deslocamento, (b) a velocidade e © a aceleração no instante t=1,90 s. Determine também (d) a freqüência e ( e ) o período do movimento.

Passo 1

Beleza, então temos um exercício de Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente vai trabalhar com uma equação que descreve como um corpo oscila no tempo. Precisamos encontrar o deslocamento, a velocidade, a aceleração num certo instante, além da frequência e do período desse movimento. Para isso, vamos usar as fórmulas básicas de MHS e fazer umas derivadas para achar as velocidades e acelerações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
x = (6,12 , m) cos[(8,38 , rad/s) t + 1,92 , rad]
Aqui, x é o deslocamento em metros, t é o tempo em segundos, 8,38 , rad/s é a velocidade angular omega, e 1,92 , rad é a fase inicial phi.

Passo 3

(a) Deslocamento no instante t = 1,90 , s
Vamos substituir t = 1,90 , s na equação de x:
x = 6,12 cos(8,38 times 1,90 + 1,92)
Primeiro calculamos o argumento do cosseno:
8,38 times 1,90 = 15,922 , rad
Então:
15,922 + 1,92 = 17,842 , rad
Agora, calculamos o cosseno de 17,842 rad:
cos(17,842) approx cos(17,842 - 2pi times 2) = cos(17,842 - 12,566) = cos(5,276) approx 0,505
Portanto:
x approx 6,12 times 0,505 approx 3,09 , m

Passo 4

(b) Velocidade no instante t = 1,90 , s
A velocidade em MHS é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
v = dxdt = -6,12 times 8,38 sin(8,38 t + 1,92)
Substituindo t = 1,90 , s:
v = -6,12 times 8,38 sin(17,842 , rad)
Calculando o seno:
sin(17,842) approx sin(5,276) approx -0,864
Então:
v approx -6,12 times 8,38 times (-0,864) approx 44,30 , m/s

Passo 5

© Aceleração no instante t = 1,90 , s
A aceleração é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada do deslocamento:
a = d^2xdt^2 = -6,12 times (8,38)^2 cos(8,38 t + 1,92)
Substituindo t = 1,90 , s:
a = -6,12 times 70,2244 cos(17,842 , rad)
Já sabemos que cos(17,842) approx 0,505, então:
a approx -6,12 times 70,2244 times 0,505 approx -216,55 , m/s^2

Passo 6

(d) Frequência do movimento
A frequência f é relacionada à velocidade angular omega pela fórmula:
f = omega2pi
Então:
f = 8,382 times 3,1416 approx 8,386,2832 approx 1,33 , Hz

Passo 7

(e) Período do movimento
O período T é o inverso da frequência:
T = 1f approx 11,33 approx 0,75 , s

Resposta

(a) Deslocamento: x approx 3,09 , m
(b) Velocidade: v approx 44,30 , m/s
© Aceleração: a approx -216,55 , m/s^2
(d) Frequência: f approx 1,33 , Hz
(e) Período: T approx 0,75 , s

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