Um corpo quadruplica seu momento quando sua velocidade dobra. Qual era a velocidade inicial em unidades de c?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. A questão diz que um corpo quadruplica seu momento quando sua velocidade dobra. Queremos descobrir qual era a velocidade inicial desse corpo em unidades de (a velocidade da luz). Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados ao momento e à relatividade, já que a relação entre momento e velocidade muda quando lidamos com velocidades próximas à da luz.

Passo 2

Vamos lembrar que o momento ( p = gamma m v ) de um corpo na física relativística é dado por:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2
onde:
  • é a massa do corpo,
  • é a velocidade,
  • é o fator de Lorentz, definido por:
Esse fator leva em conta os efeitos relativísticos quando a velocidade se aproxima da velocidade da luz .

Passo 3

Sabemos que, inicialmente, o momento é , onde é a velocidade inicial e .
Quando a velocidade dobra, a nova velocidade é e o novo momento é , onde .

Passo 4

Segundo o enunciado, o novo momento pf = 4pi é quatro vezes o momento inicial gammaf m vf = 4 gammai m vi :
gammaf cdot 2vi = 4 gammai vi
Substituindo as expressões para 2gammaf = 4gammai e gammaf = 2gammai :
Como a massa e , podemos simplificar:
Dividindo ambos os lados por :
Portanto:

Passo 5

Substituindo as expressões dos fatores de Lorentz:
1raiz1 - (2vi)^2c^2 = 2 cdot 1raiz1 - vi^2c^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
11 - 4vi^2c^2 = 4 cdot 11 - vi^2c^2
Multiplicando ambos os lados pela expressão do denominador:
1 - vi^2c^2 = 4 (1 - 4vi^2c^2)

Passo 6

Expandindo e resolvendo para 1 - vi^2c^2 = 4 - 16vi^2c^2 :
-3 + 15vi^2c^2 = 0
Levantando todos os termos para um lado:
15vi^2c^2 = 3
Isolando vi^2 = 3c^215 :
vi^2 = c^25
vi = craiz5
Tirando a raiz quadrada:

Resposta

A velocidade inicial do corpo era , ou aproximadamente .

Exercícios relacionados