Um corpo quadruplica seu momento quando sua velocidade dobra. Qual era a velocidade inicial em unidades de c?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o problema. A questão diz que um corpo quadruplica seu momento quando sua velocidade dobra. Queremos descobrir qual era a velocidade inicial desse corpo em unidades de
(a velocidade da luz). Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados ao momento e à relatividade, já que a relação entre momento e velocidade muda quando lidamos com velocidades próximas à da luz.
Passo 2
Vamos lembrar que o momento (
) de um corpo na física relativística é dado por:
onde:
-
é a massa do corpo, -
é a velocidade, -
é o fator de Lorentz, definido por:
Esse fator
leva em conta os efeitos relativísticos quando a velocidade se aproxima da velocidade da luz
.
Passo 3
Sabemos que, inicialmente, o momento é
, onde
é a velocidade inicial e
.
Quando a velocidade dobra, a nova velocidade é
e o novo momento é
, onde
.
Passo 4
Segundo o enunciado, o novo momento
é quatro vezes o momento inicial
:
Substituindo as expressões para
e
:
Como a massa
e
, podemos simplificar:
Dividindo ambos os lados por
:
Portanto:
Passo 5
Substituindo as expressões dos fatores de Lorentz:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Multiplicando ambos os lados pela expressão do denominador:
Passo 6
Expandindo e resolvendo para
:
Levantando todos os termos para um lado:
Isolando
:
Tirando a raiz quadrada:
Resposta
A velocidade inicial do corpo era
, ou aproximadamente
.