Um corpo realiza um MHS regido pela lei horária abaixo, no SI.
x=10 cos (pi / 4 cdot t+pi / 2)
Determine:
b) A velocidade e a aceleração do corpo no instante t=2 s;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala de um Movimento Harmônico Simples (MHS) com a posição dada por . A gente precisa encontrar a velocidade e a aceleração do corpo no instante segundos. Para isso, vamos usar cálculo básico de derivadas, já que velocidade é a derivada da posição e aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a expressão da velocidade. Lembra que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar v(t) = dxdt = ddt [10 cos(pi4 t + pi2)] :

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia na derivada de cosseno, temos:
v(t) = -10 cdot pi4 sin(pi4 t + pi2) = -10pi4 sin(pi4 t + pi2)
Simplificando:
v(t) = -5pi2 sin(pi4 t + pi2)
Agora, substituímos v(2) = -5pi2 sin(pi4 cdot 2 + pi2) = -5pi2 sin(pi2 + pi2) = -5pi2 sin(pi) :
v(2) = 0 , m/s
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade. Então, vamos derivar a(t) = dvdt = ddt [-5pi2 sin(pi4 t + pi2)] :
a(t) = -5pi2 cdot pi4 cos(pi4 t + pi2) = -5pi^28 cos(pi4 t + pi2)
Aplicando a regra da cadeia novamente:

Passo 5

Substituindo a(2) = -5pi^28 cos(pi4 cdot 2 + pi2) = -5pi^28 cos(pi2 + pi2) = -5pi^28 cos(pi) na expressão da aceleração:
a(2) = -5pi^28 cdot (-1) = 5pi^28 , m/s^2
Sabemos que , então:

Resposta

No instante segundos, a velocidade do corpo é e a aceleração é .

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