Um corpo realiza um MHS regido pela lei horária abaixo, no SI.
x=10 cos (pi / 4 cdot t+pi / 2)
Determine:
d) As funções horárias de velocidade e da aceleração;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos as funções de velocidade e aceleração de um corpo que está realizando um Movimento Harmônico Simples (MHS). A equação da posição é dada por:
x = 10 cos ( pi4 t + pi2 )
Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas, já que a velocidade é a derivada da posição e a aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função de velocidade. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a derivada de x(t) = 10 cos ( pi4 t + pi2 ) em relação a .
A função da posição é:
Vamos derivar essa função em relação a .

Passo 3

Para derivar v(t) = dxdt = -10 sin ( pi4 t + pi2 ) cdot pi4 , usamos a regra da cadeia. A derivada de v(t) = -10pi4 sin ( pi4 t + pi2 ) em relação a v(t) = -5pi2 sin ( pi4 t + pi2 ) é , e precisamos multiplicar pela derivada de em relação a .
Então:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função de aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a derivada de v(t) = -5pi2 sin ( pi4 t + pi2 ) em relação a .
Temos:
Vamos derivar essa função em relação a .

Passo 5

Aplicando novamente a regra da cadeia para derivar a(t) = dvdt = -5pi2 cos ( pi4 t + pi2 ) cdot pi4 :
A derivada de a(t) = -5pi^28 cos ( pi4 t + pi2 ) em relação a é , e multiplicamos pela derivada de em relação a .
Então:
Simplificando:

Resposta

As funções horárias são:
v(t) = -5pi2 sin ( pi4 t + pi2 )
e
a(t) = -5pi^28 cos ( pi4 t + pi2 )

Exercícios relacionados