Um neutron ( m=1,8 times 10^-27 kg ) cai verticalmente de uma altura z sobre um cristal de estrutura cristalina cúbica simples com parâmetro de rede 3,6 AA. O cristal está orientado de tal forma que os planos (100) estão paralelos à superfície da Terra. Qual é o valor mínimo de z que permite que o neutron seja difratado pela estrutura cristalina?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um nêutron que está caindo de uma certa altura sobre um cristal com estrutura cúbica simples. A pergunta é: qual é a menor altura de onde o nêutron pode cair para que ele seja difratado pela estrutura do cristal? Vamos precisar usar conceitos de física quântica, como o comprimento de onda de de Broglie, e a lei de Bragg da difração. Então, vamos passo a passo descobrir isso!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa difração. Difração é um fenômeno que ocorre quando uma onda encontra um obstáculo ou uma abertura e se espalha. No caso dos nêutrons, eles têm propriedades de partículas e ondas (por isso usamos a relação de de Broglie). Para que o nêutron seja difratado pelo cristal, seu comprimento de onda deve ser compatível com a distância entre os planos do cristal.

Passo 3

Vamos calcular o comprimento de onda do nêutron usando a relação de de Broglie:
lambda = hp
Onde:
  • mgh = 12mv^2 é o comprimento de onda
  • v = raiz2gh é a constante de Planck ( p = mv = m raiz2gh )
  • lambda = hm raiz2gh é o momento do nêutron
Primeiro, precisamos achar o momento . Sabemos que o nêutron cai de uma altura , então sua energia potencial gravitacional inicial é convertida em energia cinética no momento do impacto:
Isolando :
Agora, o momento é:
Então, substituindo na fórmula de de Broglie:

Passo 4

Agora, vamos usar a Lei de Bragg para difração:
nlambda = 2d sin(theta)
Onde:
  • lambda = 2d sin(theta)n é a ordem da difração (vamos usar hm raiz2gh = 2d sin(theta)1 para o mínimo)
  • z = h^22 m^2 g^2 (2d sin(theta))^2 é a distância entre os planos do cristal
  • é o ângulo de incidência (como os planos estão paralelos, , mas para difração, usamos )
Rearranjando para encontrar :
Igualando as duas expressões de :
Agora, resolvemos para :

Resposta

Após calcular os valores, o valor mínimo de que permite a difração do nêutron pela estrutura cristalina é aproximadamente metros.

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