Um neutron (
) cai verticalmente de uma altura
sobre um cristal de estrutura cristalina cúbica simples com parâmetro de rede
. O cristal está orientado de tal forma que os planos (100) estão paralelos à superfície da Terra. Qual é o valor mínimo de
que permite que o neutron seja difratado pela estrutura cristalina?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um nêutron que está caindo de uma certa altura sobre um cristal com estrutura cúbica simples. A pergunta é: qual é a menor altura de onde o nêutron pode cair para que ele seja difratado pela estrutura do cristal? Vamos precisar usar conceitos de física quântica, como o comprimento de onda de de Broglie, e a lei de Bragg da difração. Então, vamos passo a passo descobrir isso!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa difração. Difração é um fenômeno que ocorre quando uma onda encontra um obstáculo ou uma abertura e se espalha. No caso dos nêutrons, eles têm propriedades de partículas e ondas (por isso usamos a relação de de Broglie). Para que o nêutron seja difratado pelo cristal, seu comprimento de onda deve ser compatível com a distância entre os planos do cristal.
Passo 3
Vamos calcular o comprimento de onda do nêutron usando a relação de de Broglie:
Onde:
-
é o comprimento de onda -
é a constante de Planck ( ) -
é o momento do nêutron
Primeiro, precisamos achar o momento
. Sabemos que o nêutron cai de uma altura
, então sua energia potencial gravitacional inicial é convertida em energia cinética no momento do impacto:
Isolando
:
Agora, o momento
é:
Então, substituindo na fórmula de de Broglie:
Passo 4
Agora, vamos usar a Lei de Bragg para difração:
Onde:
-
é a ordem da difração (vamos usar para o mínimo) -
é a distância entre os planos do cristal -
é o ângulo de incidência (como os planos estão paralelos, , mas para difração, usamos )
Rearranjando para encontrar
:
Igualando as duas expressões de
:
Agora, resolvemos para
:
Resposta
Após calcular os valores, o valor mínimo de
que permite a difração do nêutron pela estrutura cristalina é aproximadamente
metros.
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e
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e
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;