Um corpo rígido roda em torno de um eixo de rotação fixo coincidente com o eixo com velocidade angular . Considerando os pontos com coordenadas e
a) Calcule os vetores velocidades dos pontos do corpo rígido nessas coordenadas.
b) Calcule a razão entre as magnitudes dessas velocidades.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um corpo que está girando em torno de um eixo fixo, que no caso é o eixo . A gente precisa calcular as velocidades de dois pontos específicos desse corpo enquanto ele gira e depois ver a razão entre essas velocidades. Para resolver isso, vamos usar conceitos de rotação rígida e produto vetorial para achar as velocidades dos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a velocidade de um ponto em um corpo que está girando. A velocidade de um ponto é dada pelo produto vetorial da velocidade angular com a posição do ponto . A fórmula é:
Aqui, é a velocidade angular e é o vetor posição do ponto em relação ao eixo de rotação.

Passo 3

No nosso caso, a rotação é em torno do eixo , então a velocidade angular pode ser representada como:
Onde é a magnitude da velocidade angular e é o vetor unitário na direção do eixo .

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade do primeiro ponto com coordenadas . O vetor posição desse ponto é:
Aplicando a fórmula da velocidade:
Calculando o produto vetorial:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade do segundo ponto com coordenadas . O vetor posição desse ponto é:
Aplicando a fórmula da velocidade:
Calculando o produto vetorial:
Então,

Passo 6

Agora que temos os vetores velocidade dos dois pontos, vamos calcular as magnitudes dessas velocidades para a parte b).
A magnitude de um vetor é dada por:

Passo 7

Calculando a magnitude da velocidade do primeiro ponto:

Passo 8

Calculando a magnitude da velocidade do segundo ponto:

Passo 9

Agora, vamos calcular a razão entre as magnitudes das velocidades:

Resposta

a) As velocidades dos pontos são e .
b) A razão entre as magnitudes dessas velocidades é .

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