Um corpo rígido roda em torno de um eixo de rotação fixo coincidente com o eixo x com velocidade angular omega. Considerando os pontos com coordenadas (x=1, y=1, z=2) e (-2,2,1)
a) Calcule os vetores velocidades dos pontos do corpo rígido nessas coordenadas.
b) Calcule a razão entre as magnitudes dessas velocidades.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um corpo que está girando em torno de um eixo fixo, que no caso é o eixo x. A gente precisa calcular as velocidades de dois pontos específicos desse corpo enquanto ele gira e depois ver a razão entre essas velocidades. Para resolver isso, vamos usar conceitos de rotação rígida e produto vetorial para achar as velocidades dos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a velocidade de um ponto em um corpo que está girando. A velocidade v de um ponto é dada pelo produto vetorial da velocidade angular omega com a posição do ponto r. A fórmula é:
v = omega times r
Aqui, omega é a velocidade angular e r é o vetor posição do ponto em relação ao eixo de rotação.

Passo 3

No nosso caso, a rotação é em torno do eixo x, então a velocidade angular omega pode ser representada como:
omega = omega,i
Onde omega é a magnitude da velocidade angular e i é o vetor unitário na direção do eixo x.

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade do primeiro ponto com coordenadas (x=1, y=1, z=2). O vetor posição desse ponto é:
r1 = 1,i + 1,j + 2,k
Aplicando a fórmula da velocidade:
v1 = omega times r1 = omega,i times (1,i + 1,j + 2,k)
Calculando o produto vetorial:
v1 = omega ( i times i + i times j + i times k ) = omega (0,i + k - j) = omega,k - omega,j
Então,
v1 = -omega,j + omega,k

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade do segundo ponto com coordenadas (-2, 2, 1). O vetor posição desse ponto é:
r2 = -2,i + 2,j + 1,k
Aplicando a fórmula da velocidade:
v2 = omega times r2 = omega,i times (-2,i + 2,j + 1,k)
Calculando o produto vetorial:
v2 = omega ( i times (-2,i) + i times 2,j + i times k ) = omega (0,i + 2,k - j) = 2omega,k - omega,j
Então,
v2 = -omega,j + 2omega,k

Passo 6

Agora que temos os vetores velocidade dos dois pontos, vamos calcular as magnitudes dessas velocidades para a parte b).
A magnitude de um vetor v = a,i + b,j + c,k é dada por:
|v| = raiza^2 + b^2 + c^2

Passo 7

Calculando a magnitude da velocidade do primeiro ponto:
|v1| = raiz(-omega)^2 + (omega)^2 = raizomega^2 + omega^2 = raiz2omega^2 = omegaraiz2

Passo 8

Calculando a magnitude da velocidade do segundo ponto:
|v2| = raiz(-omega)^2 + (2omega)^2 = raizomega^2 + 4omega^2 = raiz5omega^2 = omegaraiz5

Passo 9

Agora, vamos calcular a razão entre as magnitudes das velocidades:
|v2||v1| = omegaraiz5omegaraiz2 = raiz5raiz2 = raiz52 = raiz102

Resposta

a) As velocidades dos pontos são v1 = -omega,j + omega,k e v2 = -omega,j + 2omega,k.
b) A razão entre as magnitudes dessas velocidades é raiz102.

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