Um corpo rígido roda em torno de um eixo de rotação fixo coincidente com o eixo
com velocidade angular
. Considerando os pontos com coordenadas
e
a) Calcule os vetores velocidades dos pontos do corpo rígido nessas coordenadas.
b) Calcule a razão entre as magnitudes dessas velocidades.
a) Calcule os vetores velocidades dos pontos do corpo rígido nessas coordenadas.
b) Calcule a razão entre as magnitudes dessas velocidades.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um corpo que está girando em torno de um eixo fixo, que no caso é o eixo
. A gente precisa calcular as velocidades de dois pontos específicos desse corpo enquanto ele gira e depois ver a razão entre essas velocidades. Para resolver isso, vamos usar conceitos de rotação rígida e produto vetorial para achar as velocidades dos pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a velocidade de um ponto em um corpo que está girando. A velocidade
de um ponto é dada pelo produto vetorial da velocidade angular
com a posição do ponto
. A fórmula é:
Aqui,
é a velocidade angular e
é o vetor posição do ponto em relação ao eixo de rotação.
Passo 3
No nosso caso, a rotação é em torno do eixo
, então a velocidade angular
pode ser representada como:
Onde
é a magnitude da velocidade angular e
é o vetor unitário na direção do eixo
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade do primeiro ponto com coordenadas
. O vetor posição desse ponto é:
Aplicando a fórmula da velocidade:
Calculando o produto vetorial:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a velocidade do segundo ponto com coordenadas
. O vetor posição desse ponto é:
Aplicando a fórmula da velocidade:
Calculando o produto vetorial:
Então,
Passo 6
Agora que temos os vetores velocidade dos dois pontos, vamos calcular as magnitudes dessas velocidades para a parte b).
A magnitude de um vetor
é dada por:
Passo 7
Calculando a magnitude da velocidade do primeiro ponto:
Passo 8
Calculando a magnitude da velocidade do segundo ponto:
Passo 9
Agora, vamos calcular a razão entre as magnitudes das velocidades:
Resposta
a) As velocidades dos pontos são
e
.
b) A razão entre as magnitudes dessas velocidades é
.