Suponhamos que a razão com a qual esfria-se um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ar no ambiente onde encontra-se. Um corpo originalmente a
esfria-se até
em 10 minutos no ar a
. Encontre uma expressão para a temperatura do corpo em um instante
qualquer.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um corpo que está esfriando, e a taxa de resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente. Inicialmente, o corpo está a
e esfria para
em 10 minutos, com o ar ao redor a
. Nosso objetivo é encontrar uma expressão que nos diga a temperatura do corpo em qualquer instante de tempo
. Para resolver isso, vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo em relação à temperatura do ambiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei do Resfriamento de Newton. Ela afirma que a taxa de variação da temperatura de um objeto (
) é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto (
) e a temperatura ambiente (
). Podemos escrever isso como:
Aqui,
é a constante de proporcionalidade positiva, e o sinal negativo indica que a temperatura do objeto está diminuindo em relação ao ambiente.
Passo 3
Vamos organizar as informações dadas:
- Temperatura inicial do corpo,
- Temperatura após 10 minutos,
- Temperatura ambiente,
Nosso objetivo é encontrar
, a temperatura do corpo em qualquer tempo
.
Passo 4
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver por separação de variáveis.
Passo 5
Separando as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
O que nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para
:
Podemos escrever
como uma nova constante
, então:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
usando as condições dadas.
Primeiro, quando
,
:
Então, a equação fica:
Passo 8
Agora, usamos a segunda condição: quando
,
:
Dividindo ambos os lados por 60:
Passo 9
Vamos resolver para
tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 10
Agora, temos a expressão completa para
:
Substituindo
:
Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Resposta
A expressão para a temperatura do corpo em qualquer instante
é: