Suponhamos que a razão com a qual esfria-se um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ar no ambiente onde encontra-se. Um corpo originalmente a 120 graus F esfria-se até 100°F em 10 minutos no ar a 60° F. Encontre uma expressão para a temperatura do corpo em um instante t qualquer.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um corpo que está esfriando, e a taxa de resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente. Inicialmente, o corpo está a 120 graus F e esfria para 100°F em 10 minutos, com o ar ao redor a 60° F. Nosso objetivo é encontrar uma expressão que nos diga a temperatura do corpo em qualquer instante de tempo t. Para resolver isso, vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo em relação à temperatura do ambiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei do Resfriamento de Newton. Ela afirma que a taxa de variação da temperatura de um objeto ( ) é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto ( T) e a temperatura ambiente ( ). Podemos escrever isso como:
Aqui, k é a constante de proporcionalidade positiva, e o sinal negativo indica que a temperatura do objeto está diminuindo em relação ao ambiente.

Passo 3

Vamos organizar as informações dadas:
  • Temperatura inicial do corpo,
  • Temperatura após 10 minutos,
  • Temperatura ambiente,
Nosso objetivo é encontrar T(t), a temperatura do corpo em qualquer tempo t.

Passo 4

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver por separação de variáveis.

Passo 5

Separando as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
O que nos dá:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para T:
Podemos escrever como uma nova constante A, então:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar os valores de A e k usando as condições dadas.
Primeiro, quando , :
Então, a equação fica:

Passo 8

Agora, usamos a segunda condição: quando , :
Dividindo ambos os lados por 60:

Passo 9

Vamos resolver para k tirando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 10

Agora, temos a expressão completa para T(t):
Substituindo k:
Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:

Resposta

A expressão para a temperatura do corpo em qualquer instante t é:

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