Sabe-se que a população de determinada cidade aumenta a uma taxa proporcional ao número de habitantes. Se, após 2 anos, a população duplicou e, após 3 anos, é de 20.000 habitantes, estimar o número inicial de habitantes (4 casas decimais).
Passo 1
Vamos lá! Esse exercício fala sobre crescimento populacional, especificamente sobre uma população que cresce proporcionalmente ao número de habitantes. Isso significa que a taxa de crescimento da população depende diretamente de quantas pessoas existem na cidade. Para resolver, vamos precisar usar um pouco de cálculo, principalmente equações diferenciais que modelam esse tipo de crescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando a taxa de crescimento é proporcional à população, podemos escrever a equação:
Aqui,
é a população e
é a constante de proporcionalidade que vamos descobrir.
Passo 3
A solução dessa equação diferencial é uma função exponencial:
Onde
é a população inicial e
é a base dos logaritmos naturais.
Passo 4
Sabemos que após 2 anos a população dobrou. Então, podemos escrever:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Para encontrar
, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Assim:
Passo 6
Agora, sabemos que após 3 anos a população é de 20.000 habitantes. Vamos usar a equação original com
:
Substituindo
por
:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Resposta
O número inicial de habitantes era aproximadamente 7.071,0678.