Uma correia contínua, movendo verticalmente através de um banho de líquido viscoso, arrasta uma camada de líquido de espessura
ao longo dela. Considere que a vazão volumétrica de líquido,
, depende de
e
, em que
é a velocidade da correia. Aplique a análise dimensional para prever a forma de dependência de
em relação às outras variáveis.
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre uma correia que se move verticalmente através de um líquido viscoso, arrastando uma camada de líquido com espessura
. Precisamos descobrir como a vazão volumétrica
depende das variáveis
(viscosidade),
(densidade),
(aceleração da gravidade),
(espessura da camada) e
(velocidade da correia). Para resolver isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a entender como as diferentes grandezas físicas se relacionam sem precisar resolver as equações completas.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as dimensões de cada variável envolvida:
- Vazão volumétrica
: mede quanto volume passa por um ponto por unidade de tempo. - Viscosidade
: mede a resistência de um líquido ao escoamento. - Densidade
: massa por unidade de volume. - Aceleração da gravidade
: aceleração. - Espessura
: comprimento. - Velocidade
: deslocamento por unidade de tempo.
Passo 3
Agora, assumimos que a vazão
pode ser expressa como uma combinação das outras variáveis multiplicadas por constantes adimensionais. Ou seja:
onde
é uma constante adimensional e
são expoentes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos igualar as dimensões de ambos os lados da equação. A dimensão de
é
, então:
Passo 5
Vamos expandir os termos:
Multiplicando as potências:
Passo 6
Agora, igualamos os expoentes das dimensões de cada grandeza:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Resolvemos o sistema de equações:
-
-
Substituindo:
-
Substituindo:
Passo 8
Precisamos de mais informações para resolver completamente o sistema, mas como temos mais variáveis do que equações, podemos assumir que
depende de algumas combinações particulares das variáveis. Geralmente, fazemos escolhas inteligentes baseadas na física do problema.
Vamos assumir que
depende principalmente de
, e integrar as outras variáveis usando a forma de
e
.
Passo 9
Aplicando isso, podemos escrever uma relação simplificada onde
é proporcional a
, ajustando as dimensões para que elas coincidam com as de
. Finalmente, reorganizamos os termos para obter a dependência de
nas variáveis dadas.
Resposta
Após a análise, a vazão volumétrica
depende das variáveis da seguinte forma: