Sobre uma reta orientada, são dados ordenadamente os pontos A, B e C, tais que A B=B C = x. Uma partícula move-se nessa reta com velocidade escalar média v1 de A a B e com velocidade escalar média v2 de B a C. Determine a velocidade escalar média dessa partícula de A a C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um movimento numa reta com três pontos: A, B e C. A distância entre A e B é igual à distância entre B e C, ambas valendo . A partícula se move de A para B com velocidade média e de B para C com velocidade média . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade média total dessa partícula de A até C. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que a velocidade média é a distância total dividida pelo tempo total.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quanto tempo a partícula leva para ir de A para B. Como a distância é t1 = xv1 e a velocidade média é , usamos a fórmula do tempo:
Isso dá o tempo gasto no primeiro trecho.

Passo 3

Agora, vamos calcular o tempo que a partícula leva para ir de B para C. A distância também é t2 = xv2 e a velocidade média é , então:
Esse é o tempo gasto no segundo trecho.

Passo 4

A distância total que a partícula percorre de A até C é ttotal = t1 + t2 = xv1 + xv2 . O tempo total é a soma dos tempos dos dois trechos:
ttotal = x ( 1v1 + 1v2 )
Simplificando, podemos escrever:

Passo 5

Agora, para encontrar a velocidade média total vm = Distância TotalTempo Total = 2xx ( 1v1 + 1v2 ) de A a C, usamos a fórmula da velocidade média:
vm = 21v1 + 1v2 = 2 v1 v2v1 + v2 â
Simplificando, cancelamos e ficamos com:

Resposta

A velocidade escalar média da partícula de A a C é
vm = 2 v1 v2v1 + v2

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