Mostre que a velocidade v alcançada por um carro de massa m dirigido com potência constante P é dada por
v=(3 x Pm)^1 / 3
onde x é a distância percorrida a partir do repouso.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um carro com massa que está sendo dirigido com uma potência constante . Queremos descobrir qual é a velocidade que esse carro alcança após percorrer uma distância partindo do repouso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados à potência, trabalho e movimento.

Passo 2

Vamos começar lembrando que potência é a taxa de realização de trabalho. O trabalho realizado para mover o carro é igual à força aplicada vezes a distância percorrida. Como o carro parte do repouso, a energia fornecida pela potência vai para aumentar a energia cinética do carro.

Passo 3

A energia cinética Ek = 12 m v^2 de um objeto em movimento é dada por:
Onde:
  • é a massa do objeto
  • é a velocidade

Passo 4

Sabemos que potência P times t = 12 m v^2 é o trabalho realizado por unidade de tempo. Então, o trabalho realizado para mover o carro a uma distância é:
Aqui, é o tempo que o carro leva para percorrer a distância .

Passo 5

Para relacionar a distância x = 12 v t com o tempo , usamos a fórmula do movimento com velocidade média. Como o carro parte do repouso e acelera até a velocidade , a distância percorrida é:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação da potência para encontrar P t = 12 m v^2 Rightarrow t = m v^22 P :

Passo 7

Substituímos o valor de x = 12 v ( m v^22 P ) = m v^34 P na equação da distância:

Passo 8

Agora, isolamos v^3 = 4 P xm :

Passo 9

Finalmente, tiramos a raiz cúbica para encontrar v = ( 4 P xm )^1/3 :

Resposta

A velocidade v = ( 4 P xm )^1/3 alcançada pelo carro é dada por:

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