Mostre que a velocidade
alcançada por um carro de massa
dirigido com potência constante
é dada por
onde x é a distância percorrida a partir do repouso.
onde x é a distância percorrida a partir do repouso.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um carro com massa
que está sendo dirigido com uma potência constante
. Queremos descobrir qual é a velocidade
que esse carro alcança após percorrer uma distância
partindo do repouso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados à potência, trabalho e movimento.
Passo 2
Vamos começar lembrando que potência
é a taxa de realização de trabalho. O trabalho realizado para mover o carro é igual à força aplicada vezes a distância percorrida. Como o carro parte do repouso, a energia fornecida pela potência vai para aumentar a energia cinética do carro.
Passo 3
A energia cinética
de um objeto em movimento é dada por:
Onde:
-
é a massa do objeto -
é a velocidade
Passo 4
Sabemos que potência
é o trabalho realizado por unidade de tempo. Então, o trabalho realizado para mover o carro a uma distância
é:
Aqui,
é o tempo que o carro leva para percorrer a distância
.
Passo 5
Para relacionar a distância
com o tempo
, usamos a fórmula do movimento com velocidade média. Como o carro parte do repouso e acelera até a velocidade
, a distância percorrida é:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação da potência para encontrar
:
Passo 7
Substituímos o valor de
na equação da distância:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Passo 9
Finalmente, tiramos a raiz cúbica para encontrar
:
Resposta
A velocidade
alcançada pelo carro é dada por: