A corrente num fio metálico varia com o tempo de acordo com a relação I=20+ 3 t^2, com I em ampères e t em segundos. (a) Quantos coulombs de carga passam pelo condutor entre t=0 e t=10 s ? (b) Que corrente constante transportaria a mesma carga no mesmo intervalo de tempo?

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre uma corrente elétrica que muda com o tempo num fio metálico, seguindo a relação , onde está em ampères (A) e em segundos (s). Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
a) Quantos coulombs © de carga passam pelo fio entre e segundos.
b) Qual seria a corrente constante que transportaria essa mesma carga no mesmo intervalo de tempo.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a corrente elétrica está relacionada com a carga e como podemos calcular a quantidade de carga que passa pelo fio quando a corrente varia com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica ( I = dQdt ) é a taxa de variação da carga elétrica ( Q = integralt1^t2 I(t) , dt ) em relação ao tempo ( ). Matematicamente, isso é escrito como:
Para encontrar a quantidade total de carga que passa pelo fio em um intervalo de tempo, precisamos integrar a corrente em relação ao tempo nesse intervalo. Ou seja:

Passo 3

No caso da letra a, queremos saber quantos coulombs de carga passam de I(t) = 20 + 3t^2 a Q = integral0^10 (20 + 3t^2) , dt segundos. Vamos usar a expressão da corrente dada:
Vamos integrar essa expressão de a :

Passo 4

Vamos calcular a integral:
Q = integral0^10 20 , dt + integral0^10 3t^2 , dt
Calculando cada parte separadamente:

Passo 5

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
Q = 200 + 1000 = 1200 , C

Passo 6

Para a letra b, queremos encontrar uma corrente constante que transportaria a mesma quantidade de carga ( Iconstante = QDe C) no mesmo intervalo de tempo ( s).
Sabemos que a corrente constante ( ) pode ser calculada dividindo a carga total pelo intervalo de tempo:

Passo 7

Substituindo os valores:
Iconstante = 1200 , C10 , s = 120 , A

Resposta

(a) Passam 1200 coulombs de carga pelo condutor entre e segundos.
(b) Uma corrente constante de 120 A transportaria a mesma carga no mesmo intervalo de tempo.

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