Verifique que y(t)=A sen(omega t) e x(t)=B cos (omega t) satisfazem a equação d^2 xd t^2=-omega^2 x

Passo 1

Beleza! Vamos verificar se as funções e satisfazem a equação diferencial .
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente verificando se nossas funções candidatas realmente resolvem a equação dada. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de em relação ao tempo e ver se ela é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na função . Nosso objetivo é encontrar a segunda derivada dessa função em relação a .
A derivada de uma função nos mostra a taxa de variação dessa função. A segunda derivada, então, nos dá a taxa de variação da taxa de variação, ou seja, como a velocidade de mudança está acelerando ou desacelerando.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de dxdt = ddt [B cos(omega t)] = -B omega sin(omega t) :
Aqui, aplicamos a regra da derivada para o cosseno, que é .

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada de d^2xdt^2 = ddt [ -B omega sin(omega t) ] = -B omega^2 cos(omega t) :
Novamente, usamos a regra da derivada para o seno, onde . Multiplicamos pelas constantes envolvidas.

Passo 5

Vamos comparar a segunda derivada que encontramos com a equação dada:
d^2xdt^2 = -B omega^2 cos(omega t) e -omega^2 x = -omega^2 [B cos(omega t)] = -B omega^2 cos(omega t)
Observamos que ambas as expressões são iguais:
d^2xdt^2 = -omega^2 x

Resposta

As funções e satisfazem a equação diferencial .

Exercícios relacionados