Uma corrente flexível de comprimento
e massa
é colocada inicialmente em repouso sobre uma mesa reta, com apenas uma parte vertical de comprimento b pendente. Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre a mesa e a corrente vale
, determine a velocidade da corrente no instante que o último elo perde o contato com a superfície horizontal da mesa. A gravidade local vale g.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma corrente flexível com comprimento total
e massa
que está inicialmente parada sobre uma mesa. Só uma parte vertical de comprimento
está pendurada. Queremos descobrir qual é a velocidade da corrente no exato momento em que o último pedaço dela sai de contato com a mesa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Dinâmica, especificamente envolvendo forças de atrito e leis de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças atuando na corrente. Enquanto parte dela está sobre a mesa, o atrito cinético
está agindo contra o movimento. A força de atrito é dada por:
onde
é a força normal. Como a corrente está sobre uma superfície horizontal,
. Aqui,
é a aceleração devida à gravidade ajustada pela posição da corrente.
Passo 3
Quando a corrente começa a se mover, a parte pendurada exerce uma força gravitacional para baixo, o que causa a aceleração da corrente. Aplicando a segunda lei de Newton:
A força resultante que está causando a aceleração é a diferença entre o peso da parte pendurada e a força de atrito:
Precisamos encontrar
que é simplesmente
, a gravidade local.
Passo 4
Substituindo as expressões, temos:
Simplificando:
Logo, a aceleração
é:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a velocidade
no instante que o último elo perde o contato com a mesa. Podemos usar a equação de movimento uniforme acelerado:
Como a corrente parte do repouso,
, e
(o comprimento pendurado), então:
Substituindo
:
Portanto, a velocidade é:
Resposta
A velocidade da corrente no instante que o último elo perde o contato com a mesa é:
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- bt
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.
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:
Em termos do módulo e do ângulo
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