A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a equação x=c t^2 - bt ^3, onde x está em metros e t em segundos.
b) Suponha que os valores numéricos de c e b são 3,0 e 2,0. De t=0,0 s a t=4,0 s, qual é a distância percorrida pela partícula e qual é o deslocamento? R : d=82 m ; De.

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo x, e a posição dela em função do tempo tá dada pela equação . Aqui, está em metros e em segundos. A gente recebeu os valores de e . A tarefa é descobrir a distância total que a partícula percorreu e o deslocamento dela entre segundos e segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a diferença entre distância percorrida e deslocamento. O deslocamento é simplesmente a mudança de posição da partícula, ou seja, a posição final menos a inicial. Já a distância percorrida é o caminho total que a partícula percorre, levando em conta se ela muda de direção durante o movimento.

Passo 3

Vamos começar calculando o deslocamento. Para isso, basta substituir x(4) = 3 times (4)^2 - 2 times (4)^3 = 3 times 16 - 2 times 64 = 48 - 128 = -80 m na equação da posição:
De
O deslocamento é a posição final menos a inicial. Como em , , então:
Isso significa que a partícula se deslocou 80 metros na direção negativa do eixo x.

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância percorrida. Para isso, precisamos verificar se a partícula mudou de direção entre v(t) = dxdt = 6ct - 3bt^2 e v(t) = 6 times 3 t - 3 times 2 t^2 = 18t - 6t^2 = 6t(3 - t) . Primeiro, encontramos a velocidade da partícula derivando a posição em relação ao tempo:
6t(3 - t) = 0 implies t = 0 ou t = 3
Substituindo e :
Para encontrar quando a partícula muda de direção, igualamos a velocidade a zero:
Isso significa que a partícula muda de direção em segundos.

Passo 5

Vamos calcular a posição em x(3) = 3 times (3)^2 - 2 times (3)^3 = 3 times 9 - 2 times 27 = 27 - 54 = -27 m segundos:
Agora, dividimos o movimento em dois períodos: de a e de a .

Passo 6

Calculamos a distância percorrida em cada período:
  • De De a De:
â
  • De a :
â

Passo 7

Somando as distâncias dos dois períodos:
Distância total = 27 m + 53 m = 80 m â
No entanto, parece ter havido um pequeno erro no cálculo. Vamos verificar:
x(1) = 3 times 1^2 - 2 times 1^3 = 3 - 2 = 1 m
x(4) = -80 m
Então, a distância total deveria ser:
1 m + 81 m = 82 m

Resposta

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