Corrente de Probabilidade/Eq. da Continuidade- Calcule
para: (i)
, (ii)
e (iii) Para uma função de onda real. Esse exercício elucida porque
é interpretada como uma onda se propagando no sentido de
. Mostre que se
para
, então
, ou seja, a probabilidade total
, sendo
não muda no tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre corrente de probabilidade e a Equação da Continuidade na mecânica quântica. O objetivo é calcular a corrente de probabilidade
para três tipos de funções de onda:
-
-
- Uma função de onda real
Além disso, vamos entender por que
representa uma onda que se propaga na direção de
e mostrar que, se
tende a zero quando
vai para mais ou menos infinito, a probabilidade total
permanece constante no tempo.
Vamos precisar conhecer a expressão da corrente de probabilidade e como ela se relaciona com a função de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da corrente de probabilidade
na mecânica quântica. Ela é dada por:
Onde:
-
é a constante de Planck reduzida, -
é a massa da partícula, -
é a função de onda, -
é o complexo conjugado de .
Essa expressão nos diz como a probabilidade de encontrar uma partícula se move no espaço-tempo.
Passo 3
Vamos calcular
para a primeira função de onda
.
Primeiro, vamos achar o conjugado complexo de
:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da corrente de probabilidade:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
para a segunda função de onda
.
Novamente, começamos pelo conjugado complexo:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na fórmula da corrente de probabilidade:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos considerar uma função de onda real. Uma função de onda real pode ser escrita como
, onde
é uma constante real.
Primeiro, calculamos o conjugado complexo, que para funções reais é a própria função:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na fórmula da corrente de probabilidade:
Simplificando:
Então, para uma função de onda real, a corrente de probabilidade
é zero.
Passo 6
Agora, vamos interpretar os resultados:
-
Para
, a corrente de probabilidade é positiva, indicando que a onda está se propagando na direção positiva de (para ). -
Para
, a corrente de probabilidade é negativa, indicando que a onda está se propagando na direção negativa de . -
Para uma função de onda real, a corrente de probabilidade é zero, o que faz sentido porque uma função real não possui componente de fase que permita o movimento de probabilidade.
Passo 7
Finalmente, vamos mostrar que se
tende a zero quando
vai para mais ou menos infinito (
), então a probabilidade total
permanece constante no tempo.
A probabilidade total é dada por:
A Equação da Continuidade nos diz que:
Integrando ambos os lados sobre todo o espaço:
O primeiro termo é
e o segundo termo, pela regra de Newton-Leibniz, depende dos limites em
:
Se
quando
, então
também tende a zero nesses limites. Portanto:
Isso significa que a probabilidade total
é constante no tempo, ou seja,
, assumindo que a função de onda está normalizada.
Resposta
Calculamos as correntes de probabilidade para as funções de onda dadas e mostramos que, se
tende a zero nos extremos, a probabilidade total permanece constante no tempo. Especificamente:
- Para
, - Para
, - Para uma função de onda real,
- A probabilidade total
permanece constante no tempo.
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