Corrente de Probabilidade/Eq. da Continuidade- Calcule j(x, t) para: (i) A e^i k x, (ii) B e^-i k x e (iii) Para uma função de onda real. Esse exercício elucida porque A e^i k x é interpretada como uma onda se propagando no sentido de x>0. Mostre que se psi 0 para x pm infty, então d P / d t=0, ou seja, a probabilidade total P(t)=1=integralD d x rho(x), sendo D=x in[-infty,+infty] não muda no tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre corrente de probabilidade e a Equação da Continuidade na mecânica quântica. O objetivo é calcular a corrente de probabilidade para três tipos de funções de onda:
  1. Uma função de onda real
Além disso, vamos entender por que representa uma onda que se propaga na direção de e mostrar que, se tende a zero quando vai para mais ou menos infinito, a probabilidade total permanece constante no tempo.
Vamos precisar conhecer a expressão da corrente de probabilidade e como ela se relaciona com a função de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da corrente de probabilidade j(x, t) = hbar2mi ( psi^* partial psipartial x - psi partial psi^*partial x ) na mecânica quântica. Ela é dada por:
Onde:
  • é a constante de Planck reduzida,
  • é a massa da partícula,
  • é a função de onda,
  • é o complexo conjugado de .
Essa expressão nos diz como a probabilidade de encontrar uma partícula se move no espaço-tempo.

Passo 3

Vamos calcular psi^* = A^* e^-i k x para a primeira função de onda partial psipartial x = A i k e^i k x .
Primeiro, vamos achar o conjugado complexo de partial psi^*partial x = -A^* i k e^-i k x :
j(x, t) = hbar2mi ( A^* e^-i k x cdot A i k e^i k x - A e^i k x cdot (-A^* i k e^-i k x) )
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
j(x, t) = hbar2mi ( |A|^2 i k - (-|A|^2 i k) ) = hbar2mi ( 2 |A|^2 i k )
j(x, t) = hbar k |A|^2m
Substituindo na fórmula da corrente de probabilidade:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular psi^* = B^* e^i k x para a segunda função de onda partial psipartial x = -B i k e^-i k x .
Novamente, começamos pelo conjugado complexo:
partial psi^*partial x = B^* i k e^i k x
Calculamos as derivadas:
j(x, t) = hbar2mi ( B^* e^i k x cdot (-B i k e^-i k x) - B e^-i k x cdot B^* i k e^i k x )
j(x, t) = hbar2mi ( -|B|^2 i k - |B|^2 i k ) = hbar2mi ( -2 |B|^2 i k )
Substituindo na fórmula da corrente de probabilidade:
j(x, t) = -hbar k |B|^2m
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos considerar uma função de onda real. Uma função de onda real pode ser escrita como psi^* = psi = C cos(k x) , onde partial psipartial x = -C k sin(k x) é uma constante real.
Primeiro, calculamos o conjugado complexo, que para funções reais é a própria função:
partial psi^*partial x = -C k sin(k x)
Calculamos as derivadas:
j(x, t) = hbar2mi ( C cos(k x) cdot (-C k sin(k x)) - C cos(k x) cdot (-C k sin(k x)) )
j(x, t) = hbar2mi ( -C^2 k cos(k x) sin(k x) + C^2 k cos(k x) sin(k x) ) = 0
Substituindo na fórmula da corrente de probabilidade:
Simplificando:
Então, para uma função de onda real, a corrente de probabilidade é zero.

Passo 6

Agora, vamos interpretar os resultados:
  1. Para , a corrente de probabilidade é positiva, indicando que a onda está se propagando na direção positiva de (para ).
  2. Para , a corrente de probabilidade é negativa, indicando que a onda está se propagando na direção negativa de .
  3. Para uma função de onda real, a corrente de probabilidade é zero, o que faz sentido porque uma função real não possui componente de fase que permita o movimento de probabilidade.

Passo 7

Finalmente, vamos mostrar que se P(t) = integral-infty^+infty rho(x) , dx = integral-infty^+infty |psi(x, t)|^2 , dx tende a zero quando partial rhopartial t + partial jpartial x = 0 vai para mais ou menos infinito ( integral-infty^+infty partial rhopartial t , dx + integral-infty^+infty partial jpartial x , dx = 0 ), então a probabilidade total d P(t)dt + [ j(x, t) ]-infty^+infty = 0 permanece constante no tempo.
A probabilidade total é dada por:
d P(t)dt = 0
A Equação da Continuidade nos diz que:
Integrando ambos os lados sobre todo o espaço:
O primeiro termo é e o segundo termo, pela regra de Newton-Leibniz, depende dos limites em :
Se quando , então também tende a zero nesses limites. Portanto:
Isso significa que a probabilidade total é constante no tempo, ou seja, , assumindo que a função de onda está normalizada.

Resposta

Calculamos as correntes de probabilidade para as funções de onda dadas e mostramos que, se tende a zero nos extremos, a probabilidade total permanece constante no tempo. Especificamente:
  1. Para ,
  2. Para ,
  3. Para uma função de onda real,
  4. A probabilidade total permanece constante no tempo.

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