Corrente de Probabilidade/Eq. da Continuidade- Calcule para: (i) , (ii) e (iii) Para uma função de onda real. Esse exercício elucida porque é interpretada como uma onda se propagando no sentido de . Mostre que se para , então , ou seja, a probabilidade total , sendo não muda no tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre corrente de probabilidade e a Equação da Continuidade na mecânica quântica. O objetivo é calcular a corrente de probabilidade para três tipos de funções de onda:
  1. Uma função de onda real
Além disso, vamos entender por que representa uma onda que se propaga na direção de e mostrar que, se tende a zero quando vai para mais ou menos infinito, a probabilidade total permanece constante no tempo.
Vamos precisar conhecer a expressão da corrente de probabilidade e como ela se relaciona com a função de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da corrente de probabilidade na mecânica quântica. Ela é dada por:
Onde:
  • é a constante de Planck reduzida,
  • é a massa da partícula,
  • é a função de onda,
  • é o complexo conjugado de .
Essa expressão nos diz como a probabilidade de encontrar uma partícula se move no espaço-tempo.

Passo 3

Vamos calcular para a primeira função de onda .
Primeiro, vamos achar o conjugado complexo de :
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da corrente de probabilidade:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular para a segunda função de onda .
Novamente, começamos pelo conjugado complexo:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na fórmula da corrente de probabilidade:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos considerar uma função de onda real. Uma função de onda real pode ser escrita como , onde é uma constante real.
Primeiro, calculamos o conjugado complexo, que para funções reais é a própria função:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na fórmula da corrente de probabilidade:
Simplificando:
Então, para uma função de onda real, a corrente de probabilidade é zero.

Passo 6

Agora, vamos interpretar os resultados:
  1. Para , a corrente de probabilidade é positiva, indicando que a onda está se propagando na direção positiva de (para ).
  2. Para , a corrente de probabilidade é negativa, indicando que a onda está se propagando na direção negativa de .
  3. Para uma função de onda real, a corrente de probabilidade é zero, o que faz sentido porque uma função real não possui componente de fase que permita o movimento de probabilidade.

Passo 7

Finalmente, vamos mostrar que se tende a zero quando vai para mais ou menos infinito ( ), então a probabilidade total permanece constante no tempo.
A probabilidade total é dada por:
A Equação da Continuidade nos diz que:
Integrando ambos os lados sobre todo o espaço:
O primeiro termo é e o segundo termo, pela regra de Newton-Leibniz, depende dos limites em :
Se quando , então também tende a zero nesses limites. Portanto:
Isso significa que a probabilidade total é constante no tempo, ou seja, , assumindo que a função de onda está normalizada.

Resposta

Calculamos as correntes de probabilidade para as funções de onda dadas e mostramos que, se tende a zero nos extremos, a probabilidade total permanece constante no tempo. Especificamente:
  1. Para ,
  2. Para ,
  3. Para uma função de onda real,
  4. A probabilidade total permanece constante no tempo.

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