Temperatura crítica de um BEC- A seperação média entre as partículas de um BEC (condensado de Bose-Einstein) com N partículas e volume V é De. Relacionando a energia cinética das partículas com a energia térmica, temos kB Tc approx(De, sendo kB a constante de Boltzmann. Usando o princípio da incerteza (use De ), faça uma estimativa da temperatura crítica Tc desse BEC e mostre que Tc approx h^22 m kB(NV)^2 / 3 Algumas analogias (que não rigorosas) são feitas entre um BEC e o superfluido de Hélio onde Tc approx 2 K. Assim, estime qual seria a densisade de partículas n=N / V em um superfluido.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem um condensado de Bose-Einstein (BEC) com partículas em um volume . Queremos estimar a temperatura crítica desse BEC usando o princípio da incerteza. Além disso, vamos relacionar isso com o superfluido de Hélio para encontrar a densidade de partículas . Para resolver, vamos precisar das fórmulas da separação média entre partículas, da energia cinética e da energia térmica, além do princípio da incerteza de Heisenberg.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a separação média entre as partículas, que é dada por:
De
Isso só significa que, se temos partículas espalhadas no volume , cada uma está, em média, separada dessa distância.

Passo 3

Agora, vamos usar o princípio da incerteza de Heisenberg:
De
Aqui, é a incerteza no momento das partículas e é a constante de Planck. Queremos relacionar isso com a energia cinética.

Passo 4

A energia cinética Ek = (De das partículas está relacionada ao momento pela fórmula:
kB Tc approx (De
E sabemos que a energia térmica está relacionada com a temperatura crítica:
Onde é a constante de Boltzmann.

Passo 5

Vamos ligar essas informações. Primeiro, isolamos De do princípio da incerteza:
De
Substituindo da Passo 2:

Passo 6

Agora, substituímos kB Tc approx ( h ( NV )^1/3 )^22m = h^22m ( NV )^2/3 na equação da energia térmica:
Tc approx h^22 m kB ( NV )^2/3
Portanto, isolando :

Passo 7

Agora, vamos usar a analogia com o superfluido de Hélio, onde 2 , K approx h^22 m kB n^2/3 , para encontrar a densidade n^2/3 approx 2 m kB times 2 , Kh^2 . Rearranjando a equação para n approx ( 4 m kBh^2 )^3/2 :
Isolando :
Elevando ambos os lados à potência:

Resposta

A densidade de partículas no superfluido de Hélio é aproximadamente
n approx ( 4 m kBh^2 )^3/2
onde é a massa das partículas, é a constante de Boltzmann e é a constante de Planck.

Exercícios relacionados