Temperatura crítica de um BEC- A seperação média entre as partículas de um BEC (condensado de Bose-Einstein) com partículas e volume é . Relacionando a energia cinética das partículas com a energia térmica, temos , sendo a constante de Boltzmann. Usando o princípio da incerteza (use ), faça uma estimativa da temperatura crítica desse BEC e mostre que Algumas analogias (que não rigorosas) são feitas entre um BEC e o superfluido de Hélio onde . Assim, estime qual seria a densisade de partículas em um superfluido.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem um condensado de Bose-Einstein (BEC) com partículas em um volume . Queremos estimar a temperatura crítica desse BEC usando o princípio da incerteza. Além disso, vamos relacionar isso com o superfluido de Hélio para encontrar a densidade de partículas . Para resolver, vamos precisar das fórmulas da separação média entre partículas, da energia cinética e da energia térmica, além do princípio da incerteza de Heisenberg.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a separação média entre as partículas, que é dada por:
Isso só significa que, se temos partículas espalhadas no volume , cada uma está, em média, separada dessa distância.

Passo 3

Agora, vamos usar o princípio da incerteza de Heisenberg:
Aqui, é a incerteza no momento das partículas e é a constante de Planck. Queremos relacionar isso com a energia cinética.

Passo 4

A energia cinética das partículas está relacionada ao momento pela fórmula:
E sabemos que a energia térmica está relacionada com a temperatura crítica:
Onde é a constante de Boltzmann.

Passo 5

Vamos ligar essas informações. Primeiro, isolamos do princípio da incerteza:
Substituindo da Passo 2:

Passo 6

Agora, substituímos na equação da energia térmica:
Portanto, isolando :

Passo 7

Agora, vamos usar a analogia com o superfluido de Hélio, onde , para encontrar a densidade . Rearranjando a equação para :
Isolando :
Elevando ambos os lados à potência:

Resposta

A densidade de partículas no superfluido de Hélio é aproximadamente
onde é a massa das partículas, é a constante de Boltzmann e é a constante de Planck.

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