Temperatura crítica de um BEC- A seperação média entre as partículas de um BEC (condensado de Bose-Einstein) com
partículas e volume
é
. Relacionando a energia cinética das partículas com a energia térmica, temos
, sendo
a constante de Boltzmann. Usando o princípio da incerteza (use
), faça uma estimativa da temperatura crítica
desse BEC e mostre que
Algumas analogias (que não rigorosas) são feitas entre um BEC e o superfluido de Hélio onde
. Assim, estime qual seria a densisade de partículas
em um superfluido.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem um condensado de Bose-Einstein (BEC) com
partículas em um volume
. Queremos estimar a temperatura crítica
desse BEC usando o princípio da incerteza. Além disso, vamos relacionar isso com o superfluido de Hélio para encontrar a densidade de partículas
. Para resolver, vamos precisar das fórmulas da separação média entre partículas, da energia cinética e da energia térmica, além do princípio da incerteza de Heisenberg.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a separação média entre as partículas, que é dada por:
Isso só significa que, se temos
partículas espalhadas no volume
, cada uma está, em média, separada dessa distância.
Passo 3
Agora, vamos usar o princípio da incerteza de Heisenberg:
Aqui,
é a incerteza no momento das partículas e
é a constante de Planck. Queremos relacionar isso com a energia cinética.
Passo 4
A energia cinética
das partículas está relacionada ao momento pela fórmula:
E sabemos que a energia térmica está relacionada com a temperatura crítica:
Onde
é a constante de Boltzmann.
Passo 5
Vamos ligar essas informações. Primeiro, isolamos
do princípio da incerteza:
Substituindo
da Passo 2:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação da energia térmica:
Portanto, isolando
:
Passo 7
Agora, vamos usar a analogia com o superfluido de Hélio, onde
, para encontrar a densidade
. Rearranjando a equação para
:
Isolando
:
Elevando ambos os lados à
potência:
Resposta
A densidade de partículas no superfluido de Hélio é aproximadamente
onde
é a massa das partículas,
é a constante de Boltzmann e
é a constante de Planck.
Exercícios relacionados
Corrente de Probabilidade/Eq. da Continuidade- Calcule
para: (i)
, (ii)
e (iii) Para uma função de onda real. Esse exercício elucida porque
é interpretada como uma onda se propagando no sentido de
. Mostre que se
para
, então
, ou seja, a probabilidade total
, sendo
não muda no tempo.
Resolva as equações.
Partícula Livre
- Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial
sendo
real e positiva. Sendo assim, mostre que para
, temos
Partícula Livre
- Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial
sendo
real e positiva. Sendo assim, calcule
via normalização