Resolva as equações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . Esse tipo de problema está dentro do estudo de equações diferenciais, que são fundamentais para entender como as coisas mudam em relação a alguma variável, geralmente o tempo ou, como aqui, . Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Temos:
Podemos separar os termos para facilitar:
Isso nos deixa com:
Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear da forma:
Onde, no nosso caso:

Passo 3

Para resolver uma equação linear, usamos um fator integrante. O fator integrante, , é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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