Resolva as equações.
d yd x=x+2 yx

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . Esse tipo de problema está dentro do estudo de equações diferenciais, que são fundamentais para entender como as coisas mudam em relação a alguma variável, geralmente o tempo ou, como aqui, . Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Temos:
dydx = x + 2yx
Podemos separar os termos para facilitar:
dydx = 1 + 2yx
Isso nos deixa com:
dydx - 2xy = 1
Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear da forma:
dydx + P(x)y = Q(x)
Onde, no nosso caso:
P(x) = -2x e Q(x) = 1

Passo 3

Para resolver uma equação linear, usamos um fator integrante. O fator integrante, mu(x) = e^integral P(x)dx , é dado por:
mu(x) = e^integral -2x dx = e^-2 ln x = x^-2
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
x^-2 dydx - 2x^3 y = x^-2
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto ddx(x^-2 y) = x^-2 :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a integral ddx(x^-2 y) dx = integral x^-2 dx :
x^-2 y = -x^-1 + C
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para y = -x^-1 cdot x^2 + C x^2 = -x + C x^2 :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = -x + C x^2
Onde é uma constante arbitrária.

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