Resolva as equações.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. Esse tipo de problema está dentro do estudo de equações diferenciais, que são fundamentais para entender como as coisas mudam em relação a alguma variável, geralmente o tempo ou, como aqui,
. Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Temos:
Podemos separar os termos para facilitar:
Isso nos deixa com:
Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear da forma:
Onde, no nosso caso:
Passo 3
Para resolver uma equação linear, usamos um fator integrante. O fator integrante,
, é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.