Corrente de Probabilidade/Eq. da Continuidade- Mostre que para um potencial real, a eq. de Schrodinger (EQS) implica que sendo a densidade de probabilidade e é densidade de corrente de probabilidade.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, para um potencial real , a equação de Schrödinger implica a equação de continuidade:
Aqui, é a densidade de probabilidade e é a densidade de corrente de probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger e as definições de e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada temporal da densidade de probabilidade . Sabemos que , então:
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas.

Passo 3

Agora, vamos usar a equação de Schrödinger para expressar e sua complexa conjugada . A equação de Schrödinger para é:
Tomando o conjugado complexo dessa equação, temos para :

Passo 4

Substituindo e nas expressões para , temos:
Simplificando, obtemos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada espacial da densidade de corrente de probabilidade :
Simplificando, temos:

Passo 6

Comparamos as expressões obtidas para e :
Observamos que:

Resposta

Assim, provamos que para um potencial real , a equação de Schrödinger implica a equação de continuidade:

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