Corrente de Probabilidade/Eq. da Continuidade- Mostre que para um potencial
real, a eq. de Schrodinger (EQS) implica que
sendo
a densidade de probabilidade e
é densidade de corrente de probabilidade.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, para um potencial real
, a equação de Schrödinger implica a equação de continuidade:
Aqui,
é a densidade de probabilidade e
é a densidade de corrente de probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger e as definições de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada temporal da densidade de probabilidade
. Sabemos que
, então:
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas.
Passo 3
Agora, vamos usar a equação de Schrödinger para expressar
e sua complexa conjugada
. A equação de Schrödinger para
é:
Tomando o conjugado complexo dessa equação, temos para
:
Passo 4
Substituindo
e
nas expressões para
, temos:
Simplificando, obtemos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada espacial da densidade de corrente de probabilidade
:
Simplificando, temos:
Passo 6
Comparamos as expressões obtidas para
e
:
Observamos que:
Resposta
Assim, provamos que para um potencial real
, a equação de Schrödinger implica a equação de continuidade:
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Distribuição Gaussiana-Considere uma distribuição de probabilidade Gaussiana, definida ao longo de
, e dada por
Com base nisso: Calcule
e
(desvio quadrático em
).
Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado.
, onde
.
Repita a questão 01 usando uma nova distribuição de probabilidade, dada por
válida apenas para
e
. Em seguida, repita a questão 01 para
para
.
Distribuição com Polinômios de Hermite
. Os polinômios de Hermite são dados pela fórmula
sendo
um inteiro positivo. Considere um conjunto de distribuição de probabilidades
. Usando a normalização de
, encontre os
.