Corrente de Probabilidade/Eq. da Continuidade- Mostre que para um potencial V(x) real, a eq. de Schrodinger (EQS) implica que partial rhopartial t+partial jxpartial x=0 sendo rho(x, t)=|psi(x, t)|^2 a densidade de probabilidade e jx(x, t)=hbar /(2 i m)(psi^* partial psi / partial x-psi partial psi^* / partial x) é densidade de corrente de probabilidade.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, para um potencial real partial rhopartial t + partial jxpartial x = 0 , a equação de Schrödinger implica a equação de continuidade:
Aqui, é a densidade de probabilidade e é a densidade de corrente de probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger e as definições de e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada temporal da densidade de probabilidade partial rhopartial t = partial psi^*partial t psi + psi^* partial psipartial t . Sabemos que , então:
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas.

Passo 3

Agora, vamos usar a equação de Schrödinger para expressar ihbar partial psipartial t = -hbar^22m partial^2 psipartial x^2 + V(x) psi e sua complexa conjugada -ihbar partial psi^*partial t = -hbar^22m partial^2 psi^*partial x^2 + V(x) psi^* . A equação de Schrödinger para é:
Tomando o conjugado complexo dessa equação, temos para :

Passo 4

Substituindo partial rhopartial t = ( 1ihbar ( -hbar^22m partial^2 psi^*partial x^2 + V(x) psi^* ) ) psi + psi^* ( 1-ihbar ( -hbar^22m partial^2 psipartial x^2 + V(x) psi ) ) e partial rhopartial t = hbar2mi ( psi^* partial^2 psipartial x^2 - partial^2 psi^*partial x^2 psi ) nas expressões para , temos:
Simplificando, obtemos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada espacial da densidade de corrente de probabilidade partial jxpartial x = hbar2mi ( partial psi^*partial x partial psipartial x + psi^* partial^2 psipartial x^2 - partial psipartial x partial psi^*partial x - psi partial^2 psi^*partial x^2 ) :
partial jxpartial x = hbar2mi ( psi^* partial^2 psipartial x^2 - psi partial^2 psi^*partial x^2 )
Simplificando, temos:

Passo 6

Comparamos as expressões obtidas para partial rhopartial t = hbar2mi ( psi^* partial^2 psipartial x^2 - partial^2 psi^*partial x^2 psi ) e partial jxpartial x = hbar2mi ( psi^* partial^2 psipartial x^2 - psi partial^2 psi^*partial x^2 ) :
partial rhopartial t + partial jxpartial x = 0
Observamos que:

Resposta

Assim, provamos que para um potencial real partial rhopartial t + partial jxpartial x = 0 , a equação de Schrödinger implica a equação de continuidade:

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