Distribuição com Polinômios de Hermite Hn(x). Os polinômios de Hermite são dados pela fórmula Hn(x)=(-1)^n e^x^2 d^2d x^2 e^-x^2 sendo n=0,1,2 ldots um inteiro positivo. Considere um conjunto de distribuição de probabilidades psin(x)=An Hn(x) e^-x^2 / 2. Usando a normalização de psin(x), encontre os An.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os coeficientes na distribuição de probabilidade , onde são os polinômios de Hermite. A matéria envolvida aqui é a normalização de funções de probabilidade usando polinômios de Hermite. Para resolver isso, vamos usar a condição de normalização, que assegura que a integral da função de probabilidade ao quadrado seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa normalizar a função integral-infty^infty |psin(x)|^2 dx = 1 . A condição de normalização diz que:
integral-infty^infty |An Hn(x) e^-x^2/2|^2 dx = 1
Substituindo na equação, temos:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. O módulo ao quadrado de |An Hn(x) e^-x^2/2|^2 = An^2 Hn(x)^2 e^-x^2 fica:
An^2 integral-infty^infty Hn(x)^2 e^-x^2 dx = 1
Então, a condição de normalização agora é:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral integral-infty^infty Hn(x)^2 e^-x^2 dx = 2^n n! raizpi . Aqui entra a propriedade dos polinômios de Hermite: eles são ortogonais em relação ao peso , e a integral do quadrado de vezes é conhecida. A fórmula é:

Passo 5

Substituindo essa integral na condição de normalização, temos:
An^2 cdot 2^n n! raizpi = 1
Agora, queremos isolar An^2 = 12^n n! raizpi . Vamos dividir ambos os lados por :

Passo 6

Para encontrar An = 1raiz2^n n! raizpi , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
An = 1(2^n n! raizpi)^1/2 = 12^n/2 raizn! pi^1/4
Simplificando a raiz, podemos escrever:

Resposta

Os coeficientes de normalização são dados por:
An = 12^n/2 raizn! , pi^1/4

Exercícios relacionados