Distribuição com Polinômios de Hermite . Os polinômios de Hermite são dados pela fórmula sendo um inteiro positivo. Considere um conjunto de distribuição de probabilidades . Usando a normalização de , encontre os .

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os coeficientes na distribuição de probabilidade , onde são os polinômios de Hermite. A matéria envolvida aqui é a normalização de funções de probabilidade usando polinômios de Hermite. Para resolver isso, vamos usar a condição de normalização, que assegura que a integral da função de probabilidade ao quadrado seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa normalizar a função . A condição de normalização diz que:
Substituindo na equação, temos:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. O módulo ao quadrado de fica:
Então, a condição de normalização agora é:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral . Aqui entra a propriedade dos polinômios de Hermite: eles são ortogonais em relação ao peso , e a integral do quadrado de vezes é conhecida. A fórmula é:

Passo 5

Substituindo essa integral na condição de normalização, temos:
Agora, queremos isolar . Vamos dividir ambos os lados por :

Passo 6

Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Simplificando a raiz, podemos escrever:

Resposta

Os coeficientes de normalização são dados por:

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