Distribuição com Polinômios de Hermite
. Os polinômios de Hermite são dados pela fórmula
sendo
um inteiro positivo. Considere um conjunto de distribuição de probabilidades
. Usando a normalização de
, encontre os
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os coeficientes
na distribuição de probabilidade
, onde
são os polinômios de Hermite. A matéria envolvida aqui é a normalização de funções de probabilidade usando polinômios de Hermite. Para resolver isso, vamos usar a condição de normalização, que assegura que a integral da função de probabilidade ao quadrado seja igual a 1.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa normalizar a função
. A condição de normalização diz que:
Substituindo
na equação, temos:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. O módulo ao quadrado de
fica:
Então, a condição de normalização agora é:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral
. Aqui entra a propriedade dos polinômios de Hermite: eles são ortogonais em relação ao peso
, e a integral do quadrado de
vezes
é conhecida. A fórmula é:
Passo 5
Substituindo essa integral na condição de normalização, temos:
Agora, queremos isolar
. Vamos dividir ambos os lados por
:
Passo 6
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Simplificando a raiz, podemos escrever:
Resposta
Os coeficientes de normalização são dados por: