Repita a questão 01 usando uma nova distribuição de probabilidade, dada por
válida apenas para
e
. Em seguida, repita a questão 01 para
para
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que foi pedido: precisamos repetir a questão 01 usando duas novas distribuições de probabilidade. As distribuições são:
-
, válida para e . -
, para .
O conteúdo envolvido aqui é normalização de distribuições de probabilidade. Isso significa que precisamos ajustar a constante
de forma que a integral da distribuição sobre todo o seu domínio seja igual a 1. Vamos usar cálculo integral para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa normalizar uma distribuição de probabilidade. Para qualquer função de densidade de probabilidade
, a condição de normalização é:
Essa condição garante que a soma ou a área total sob a curva da distribuição seja 1, o que faz sentido porque a probabilidade total deve ser 100%.
Passo 3
Vamos começar com a primeira distribuição:
para
.
Aplicando a condição de normalização:
Vamos resolver essa integral:
Calculando os limites:
Então temos:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda distribuição:
para
.
Aplicando a condição de normalização:
No entanto, precisamos notar que a função seno é ímpar, o que significa que
. Portanto, a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero:
Isso implica que a função dada não pode ser uma distribuição de probabilidade válida no intervalo
, já que a integral seria zero e não atenderia à condição de normalização.
Para corrigir isso, podemos considerar o intervalo de
em vez de
. Assim, a integral fica:
Resolvendo a integral:
Calculando os limites:
Igualando a 1:
Resposta
Para a distribuição
em
, a constante de normalização é
.
Para a distribuição
em
, a constante de normalização é
.
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sendo
a densidade de probabilidade e
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, e dada por
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e
(desvio quadrático em
).
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. Usando a normalização de
, encontre os
.
Verifique que as soluções
e
são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?
(a) .
(a)