Repita a questão 01 usando uma nova distribuição de probabilidade, dada por rho(x)=A e^-B x válida apenas para x in[0, infty] e B>0. Em seguida, repita a questão 01 para rho(x)=A sin (pi xL) para x in[-L, L].

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que foi pedido: precisamos repetir a questão 01 usando duas novas distribuições de probabilidade. As distribuições são:
  1. , válida para e .
  2. , para .
O conteúdo envolvido aqui é normalização de distribuições de probabilidade. Isso significa que precisamos ajustar a constante de forma que a integral da distribuição sobre todo o seu domínio seja igual a 1. Vamos usar cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar uma distribuição de probabilidade. Para qualquer função de densidade de probabilidade integral rho(x) , dx = 1 , a condição de normalização é:
Essa condição garante que a soma ou a área total sob a curva da distribuição seja 1, o que faz sentido porque a probabilidade total deve ser 100%.

Passo 3

Vamos começar com a primeira distribuição: integral0^infty A e^-B x , dx = 1 para A integral0^infty e^-B x , dx = A [ -1B e^-B x ]0^infty .
Aplicando a condição de normalização:
A ( 0 - (-1B) ) = A cdot 1B
Vamos resolver essa integral:
A cdot 1B = 1 Rightarrow A = B
Calculando os limites:
Então temos:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda distribuição: integral-L^L A sin ( pi xL ) , dx = 1 para integral-L^L sin ( pi xL ) , dx = 0 .
Aplicando a condição de normalização:
integral0^L A sin ( pi xL ) , dx = 1
No entanto, precisamos notar que a função seno é ímpar, o que significa que A integral0^L sin ( pi xL ) , dx = A [ -Lpi cos ( pi xL ) ]0^L . Portanto, a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero:
A ( -Lpi cos(pi) + Lpi cos(0) ) = A ( -Lpi (-1) + Lpi (1) ) = A cdot 2Lpi
Isso implica que a função dada não pode ser uma distribuição de probabilidade válida no intervalo A cdot 2Lpi = 1 Rightarrow A = pi2L , já que a integral seria zero e não atenderia à condição de normalização.
Para corrigir isso, podemos considerar o intervalo de em vez de . Assim, a integral fica:
Resolvendo a integral:
Calculando os limites:
Igualando a 1:

Resposta

Para a distribuição em , a constante de normalização é .
Para a distribuição em , a constante de normalização é .

Exercícios relacionados