Repita a questão 01 usando uma nova distribuição de probabilidade, dada por válida apenas para e . Em seguida, repita a questão 01 para para .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que foi pedido: precisamos repetir a questão 01 usando duas novas distribuições de probabilidade. As distribuições são:
  1. , válida para e .
  2. , para .
O conteúdo envolvido aqui é normalização de distribuições de probabilidade. Isso significa que precisamos ajustar a constante de forma que a integral da distribuição sobre todo o seu domínio seja igual a 1. Vamos usar cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar uma distribuição de probabilidade. Para qualquer função de densidade de probabilidade , a condição de normalização é:
Essa condição garante que a soma ou a área total sob a curva da distribuição seja 1, o que faz sentido porque a probabilidade total deve ser 100%.

Passo 3

Vamos começar com a primeira distribuição: para .
Aplicando a condição de normalização:
Vamos resolver essa integral:
Calculando os limites:
Então temos:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda distribuição: para .
Aplicando a condição de normalização:
No entanto, precisamos notar que a função seno é ímpar, o que significa que . Portanto, a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero:
Isso implica que a função dada não pode ser uma distribuição de probabilidade válida no intervalo , já que a integral seria zero e não atenderia à condição de normalização.
Para corrigir isso, podemos considerar o intervalo de em vez de . Assim, a integral fica:
Resolvendo a integral:
Calculando os limites:
Igualando a 1:

Resposta

Para a distribuição em , a constante de normalização é .
Para a distribuição em , a constante de normalização é .

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