Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado.
, onde
.
Passo 1
Vamos lá, primeiro entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial
que descreve uma trajetória no espaço conforme o parâmetro
varia. Queremos encontrar a equação da reta tangente a essa trajetória no ponto onde
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e a forma paramétrica de uma reta no espaço.
Passo 2
Para achar a reta tangente, precisamos primeiro encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá o vetor velocidade ou o vetor tangente à trajetória em qualquer ponto
. Vamos derivar cada componente de
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto
para encontrar o vetor tangente nesse ponto específico:
Esse vetor
é a direção da reta tangente no ponto
.
Passo 4
Também precisamos saber as coordenadas do ponto na trajetória quando
. Vamos substituir
na função
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 5
Com o ponto
e o vetor tangente
, podemos montar a equação paramétrica da reta tangente. A forma geral de uma reta no espaço é:
onde:
-
é o ponto inicial (nossa ), -
é o vetor diretor (nossa ), -
é o parâmetro.
Passo 6
Substituindo os valores que temos na fórmula da reta:
Isso resulta na equação paramétrica da reta tangente:
Resposta
A equação da reta tangente à trajetória da função
no ponto onde
é: