Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado. F(t)=(t, t^2, t, t^2), onde P=1.

Passo 1

Vamos lá, primeiro entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial que descreve uma trajetória no espaço conforme o parâmetro varia. Queremos encontrar a equação da reta tangente a essa trajetória no ponto onde . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e a forma paramétrica de uma reta no espaço.

Passo 2

Para achar a reta tangente, precisamos primeiro encontrar a derivada da função F'(t) = ( ddt t, ddt t^2, ddt t, ddt t^2 ) = ( 1, 2t, 1, 2t ) . A derivada nos dá o vetor velocidade ou o vetor tangente à trajetória em qualquer ponto . Vamos derivar cada componente de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto F'(1) = ( 1, 2(1), 1, 2(1) ) = ( 1, 2, 1, 2 ) para encontrar o vetor tangente nesse ponto específico:
Esse vetor é a direção da reta tangente no ponto .

Passo 4

Também precisamos saber as coordenadas do ponto na trajetória quando F(1) = ( 1, 1^2, 1, 1^2 ) = ( 1, 1, 1, 1 ) . Vamos substituir na função :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 5

Com o ponto r(s) = r0 + s cdot v e o vetor tangente , podemos montar a equação paramétrica da reta tangente. A forma geral de uma reta no espaço é:
onde:
  • é o ponto inicial (nossa ),
  • é o vetor diretor (nossa ),
  • é o parâmetro.

Passo 6

Substituindo os valores que temos na fórmula da reta:
r(s) = (1, 1, 1, 1) + s cdot (1, 2, 1, 2)
Isso resulta na equação paramétrica da reta tangente:
r(s) = ( 1 + s, 1 + 2s, 1 + s, 1 + 2s )

Resposta

A equação da reta tangente à trajetória da função r(s) = (1 + s, 1 + 2s, 1 + s, 1 + 2s) no ponto onde é:

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