Distribuição Gaussiana-Considere uma distribuição de probabilidade Gaussiana, definida ao longo de , e dada por Com base nisso: Calcule e (desvio quadrático em ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma Distribuição Gaussiana, que é uma maneira de descrever como as probabilidades estão distribuídas ao longo de todos os valores possíveis de . A função que define essa distribuição é . Nosso objetivo aqui é calcular três coisas: a média de (representada por ), a média de (ou ) e o desvio quadrático de (que chamamos de ). Para isso, vamos precisar entender como normalizar a distribuição e usar algumas integrais básicas.

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar a distribuição. Isso significa que a área total sob a curva da distribuição Gaussiana deve ser igual a 1, já que estamos lidando com probabilidades. Matemáticamente, isso é:
Substituindo por :
Sabemos que a integral de de a é . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a média de , que é . A média é dada por:
Substituindo :
Note que a função é uma função ímpar, ou seja, ela é simétrica em relação à origem, e sua integral de a é zero. Portanto:

Passo 4

Vamos agora calcular a média de , :
Substituindo :
Sabemos que:
Então:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular o desvio quadrático , que é definido como:
Já sabemos que e , então:

Resposta

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