Distribuição Gaussiana-Considere uma distribuição de probabilidade Gaussiana, definida ao longo de
, e dada por
Com base nisso: Calcule
e
(desvio quadrático em
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma Distribuição Gaussiana, que é uma maneira de descrever como as probabilidades estão distribuídas ao longo de todos os valores possíveis de
. A função que define essa distribuição é
. Nosso objetivo aqui é calcular três coisas: a média de
(representada por
), a média de
(ou
) e o desvio quadrático de
(que chamamos de
). Para isso, vamos precisar entender como normalizar a distribuição e usar algumas integrais básicas.
Passo 2
Primeiro, precisamos normalizar a distribuição. Isso significa que a área total sob a curva da distribuição Gaussiana deve ser igual a 1, já que estamos lidando com probabilidades. Matemáticamente, isso é:
Substituindo
por
:
Sabemos que a integral de
de
a
é
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a média de
, que é
. A média é dada por:
Substituindo
:
Note que a função
é uma função ímpar, ou seja, ela é simétrica em relação à origem, e sua integral de
a
é zero. Portanto:
Passo 4
Vamos agora calcular a média de
,
:
Substituindo
:
Sabemos que:
Então:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular o desvio quadrático
, que é definido como:
Já sabemos que
e
, então: