Distribuição Gaussiana-Considere uma distribuição de probabilidade Gaussiana, definida ao longo de x in[-infty,+infty], e dada por rho(x)=A e^-B x^2 Com base nisso: Calcule lang<= xrang<=,lang<= x^2rang<= e sigmax^2 (desvio quadrático em x ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma Distribuição Gaussiana, que é uma maneira de descrever como as probabilidades estão distribuídas ao longo de todos os valores possíveis de . A função que define essa distribuição é . Nosso objetivo aqui é calcular três coisas: a média de (representada por ), a média de (ou ) e o desvio quadrático de (que chamamos de ). Para isso, vamos precisar entender como normalizar a distribuição e usar algumas integrais básicas.

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar a distribuição. Isso significa que a área total sob a curva da distribuição Gaussiana deve ser igual a 1, já que estamos lidando com probabilidades. Matemáticamente, isso é:
integral-infty^+infty rho(x) , dx = 1
Substituindo integral-infty^+infty A e^-B x^2 , dx = 1 por A raizpiB = 1 implies A = raizBpi :
Sabemos que a integral de de a é . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a média de lang<= x rang<= = integral-infty^+infty x rho(x) , dx , que é lang<= x rang<= = integral-infty^+infty x raizBpi e^-B x^2 , dx . A média é dada por:
lang<= x rang<= = 0
Substituindo :
Note que a função é uma função ímpar, ou seja, ela é simétrica em relação à origem, e sua integral de a é zero. Portanto:

Passo 4

Vamos agora calcular a média de lang<= x^2 rang<= = integral-infty^+infty x^2 rho(x) , dx , lang<= x^2 rang<= = integral-infty^+infty x^2 raizBpi e^-B x^2 , dx :
integral-infty^+infty x^2 e^-B x^2 , dx = 12 raizpiB^3
Substituindo lang<= x^2 rang<= = raizBpi cdot 12 raizpiB^3 = 12B :
Sabemos que:
Então:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular o desvio quadrático sigmax^2 = lang<= x^2 rang<= - lang<= x rang<=^2 , que é definido como:
sigmax^2 = 12B - 0 = 12B
Já sabemos que e , então:

Resposta

lang<= x rang<= = 0, lang<= x^2 rang<= = 12B, sigmax^2 = 12B

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