Uma corrente senoidal tem amplitude máxima de 20 A . A corrente passa por um ciclo completo em 1 ms . O valor da corrente em
é 10 A . Escreva a expressão para i
usando a função cosseno. Expresse f em graus.
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre uma corrente que varia de forma senoidal, ou seja, tem um comportamento de onda. A corrente tem uma amplitude máxima de 20 A, completa um ciclo inteiro em 1 milissegundo (1 ms) e, no tempo t = 0, seu valor é de 10 A. Nosso objetivo é escrever a expressão matemática dessa corrente usando a função cosseno e expressar a frequência em graus.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral de uma corrente senoidal usando a função cosseno:
Onde:
- $ I_{max} $ é a amplitude máxima da corrente.
- $ \omega $ é a frequência angular.
- $ \phi $ é a fase inicial.
Passo 3
Sabemos que a amplitude máxima $ I_{max} $ é 20 A. Então, já temos essa parte da fórmula:
Passo 4
O próximo passo é determinar a frequência angular $ \omega $. Primeiro, encontramos a frequência $ f $ a partir do período $ T $. O período $ T $ é o tempo que a corrente leva para completar um ciclo, que no caso é 1 ms ou $ 1 \times 10^{-3} $ segundos.
A relação entre frequência e período é:
Então,
Passo 5
Agora, queremos expressar a frequência em graus. Sabemos que uma frequência de 1000 Hz significa 1000 ciclos por segundo. Para converter isso em graus por segundo, multiplicamos por 360 graus (pois um ciclo completo tem 360 graus):
Passo 6
A frequência angular $ \omega $ é relacionada à frequência $ f $ pela fórmula:
Mas como queremos $ f $ em graus, vamos usar diretamente:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a fase inicial $ \phi $. Sabemos que em $ t = 0 $, a corrente $ i(0) = 10 $ A. Vamos substituir esses valores na fórmula da corrente:
Resolvendo para $ \phi $:
Então,
Passo 8
Agora que temos todos os valores, podemos escrever a expressão completa da corrente:
Resposta
A expressão para a corrente é: