Se a corrente no solenóide varia com o tempo de acordo com I=I0 e^-b t, sendo I0 e b duas constantes positivas, mostre que a corrente induzida na bobina é
I^prime=54 mu0 N n IR a^2 btan (pi / 5)
e determine o sentido desta corrente (mesmo sentido ou sentido contrário à corrente I no solenóide), justificando sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a corrente induzida na bobina é dada por
I^prime=54 mu0 N n IR a^2 btan (pi / 5)
e também determinar o sentido dessa corrente em relação à corrente no solenóide. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Lei de Faraday da Indução e Lei de Lenz. Precisaremos entender como uma corrente variável gera um campo magnético que, por sua vez, induz uma corrente na bobina.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Faraday nos diz que uma variação no fluxo magnético através de uma bobina induz uma força eletromotriz (fem) nela. A fórmula da Lei de Faraday é:
E = -N dPhidt
onde:
  • é a fem induzida,
  • é o número de espiras da bobina,
  • é o fluxo magnético.
O sinal negativo vem da Lei de Lenz, que afirma que a corrente induzida sempre se opõe à causa que a produziu.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo magnético Phi = B cdot A . O fluxo magnético através de uma única espira é dado por:
onde:
  • é o campo magnético,
  • é a área da espira.
Como temos espiras, o fluxo total é .

Passo 4

O campo magnético B = mu0 n I(t) gerado pelo solenóide com corrente variável B = mu0 n I0 e^-bt é dado por:
onde:
  • é a permeabilidade do vácuo,
  • é o número de espiras por unidade de comprimento do solenóide.
Substituindo :

Passo 5

Agora, a área A = pi a^2 da espira é:
Phi = B cdot A = mu0 n I0 e^-bt cdot pi a^2
onde é o raio da espira.
Então, o fluxo magnético total é:

Passo 6

Aplicando a Lei de Faraday, a fem induzida é:
E = -N dPhidt = -N ddt ( mu0 n I0 e^-bt cdot pi a^2 )
Derivando em relação ao tempo:
E = -N mu0 n I0 pi a^2 cdot (-b) e^-bt = N mu0 n I0 pi a^2 b e^-bt

Passo 7

A corrente induzida I' = ER = N mu0 n I0 pi a^2 b e^-btR na bobina é relacionada à fem e à resistência da bobina pela Lei de Ohm:

Passo 8

No enunciado, a corrente I' = N mu0 n pi a^2 bR I(t) é I^prime=54 mu0 N n IR a^2 btan (pi / 5) . Substituindo isso na expressão de :
Agora, comparando com a expressão que queremos mostrar:
Percebemos que está relacionado com , já que é uma constante geométrica que pode estar relacionada com a configuração específica do problema.

Passo 9

Finalmente, concluímos que a corrente induzida na bobina é:
I^prime=54 mu0 N n IR a^2 btan (pi / 5)

Resposta

A corrente induzida na bobina é
I^prime=54 mu0 N n IR a^2 btan (pi / 5)
Quanto ao sentido, a corrente induzida tem sentido contrário à corrente no solenóide, conforme estabelecido pela Lei de Lenz. Isso ocorre porque a corrente induzida busca se opor à variação que a originou, ou seja, à diminuição da corrente .

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