Se a corrente no solenóide varia com o tempo de acordo com
, sendo
e
duas constantes positivas, mostre que a corrente induzida na bobina é
e determine o sentido desta corrente (mesmo sentido ou sentido contrário à corrente
no solenóide), justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a corrente induzida na bobina é dada por
e também determinar o sentido dessa corrente em relação à corrente
no solenóide. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Lei de Faraday da Indução e Lei de Lenz. Precisaremos entender como uma corrente variável gera um campo magnético que, por sua vez, induz uma corrente na bobina.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Faraday nos diz que uma variação no fluxo magnético através de uma bobina induz uma força eletromotriz (fem) nela. A fórmula da Lei de Faraday é:
onde:
-
é a fem induzida, -
é o número de espiras da bobina, -
é o fluxo magnético.
O sinal negativo vem da Lei de Lenz, que afirma que a corrente induzida sempre se opõe à causa que a produziu.
Passo 3
Vamos calcular o fluxo magnético
. O fluxo magnético através de uma única espira é dado por:
onde:
-
é o campo magnético, -
é a área da espira.
Como temos
espiras, o fluxo total é
.
Passo 4
O campo magnético
gerado pelo solenóide com corrente variável
é dado por:
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo, -
é o número de espiras por unidade de comprimento do solenóide.
Substituindo
:
Passo 5
Agora, a área
da espira é:
onde
é o raio da espira.
Então, o fluxo magnético total
é:
Passo 6
Aplicando a Lei de Faraday, a fem induzida é:
Derivando em relação ao tempo:
Passo 7
A corrente induzida
na bobina é relacionada à fem e à resistência
da bobina pela Lei de Ohm:
Passo 8
No enunciado, a corrente
é
. Substituindo isso na expressão de
:
Agora, comparando com a expressão que queremos mostrar:
Percebemos que
está relacionado com
, já que
é uma constante geométrica que pode estar relacionada com a configuração específica do problema.
Passo 9
Finalmente, concluímos que a corrente induzida na bobina é:
Resposta
A corrente induzida na bobina é
Quanto ao sentido, a corrente induzida
tem sentido contrário à corrente
no solenóide, conforme estabelecido pela Lei de Lenz. Isso ocorre porque a corrente induzida busca se opor à variação que a originou, ou seja, à diminuição da corrente
.