Uma longa casca cilíndrica tem raio interno a, raio externo b e conduz corrente I paralela ao eixo central. Considere que, no interior do material da casca, a densidade de corrente está uniformemente distribuída. Determine uma expressão para a magnitude do campo magnético para
12a
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma casca cilíndrica longa com raio interno e raio externo . Essa casca conduz uma corrente que é paralela ao eixo central. A densidade de corrente está distribuída uniformemente dentro do material da casca. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a magnitude do campo magnético quando estamos em uma distância do eixo central, onde .
Aqui, vamos usar o Teorema de Ampère, que relaciona o campo magnético ao fluxo de corrente que ele gera. Precisamos entender como a corrente está distribuída e como isso afeta o campo magnético em diferentes regiões.

Passo 2

Vamos começar lembrando do Teorema de Ampère, que diz:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Isso significa que a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade magnética ( ) vezes a corrente total que passa pelo caminho.

Passo 3

Como estamos lidando com simetria cilíndrica e a casca é muito longa, podemos escolher um caminho de Ampère que seja um círculo de raio B cdot 2pi r = mu0 Ienc centrado no eixo da casca. Nesse caso, o campo magnético terá a mesma magnitude em todos os pontos do círculo e será tangente a ele.
Então, a integral se simplifica para:
Aqui, é a magnitude do campo magnético que queremos encontrar.

Passo 4

Agora, precisamos determinar Ienc = 0 , que é a corrente total “encapsulada” pelo caminho de Ampère. Quando , estamos dentro do vazio interno da casca cilíndrica. Como a corrente está distribuída apenas entre e , não há corrente dentro da região .
Portanto:

Passo 5

Substituindo B cdot 2pi r = mu0 cdot 0 na equação de Ampère:
B cdot 2pi r = 0
O que simplifica para:

Passo 6

Para que a equação seja verdadeira, a única possibilidade é que . Ou seja, o campo magnético dentro do vazio da casca cilíndrica é nulo.

Resposta

A magnitude do campo magnético para é .

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I^prime=54 mu0 N n IR a^2 btan (pi / 5)
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