Uma longa casca cilíndrica tem raio interno
, raio externo
e conduz corrente
paralela ao eixo central. Considere que, no interior do material da casca, a densidade de corrente está uniformemente distribuída. Determine uma expressão para a magnitude do campo magnético para
12a
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma casca cilíndrica longa com raio interno
e raio externo
. Essa casca conduz uma corrente
que é paralela ao eixo central. A densidade de corrente está distribuída uniformemente dentro do material da casca. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a magnitude do campo magnético quando estamos em uma distância
do eixo central, onde
.
Aqui, vamos usar o Teorema de Ampère, que relaciona o campo magnético ao fluxo de corrente que ele gera. Precisamos entender como a corrente está distribuída e como isso afeta o campo magnético em diferentes regiões.
Passo 2
Vamos começar lembrando do Teorema de Ampère, que diz:
Isso significa que a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade magnética (
) vezes a corrente total
que passa pelo caminho.
Passo 3
Como estamos lidando com simetria cilíndrica e a casca é muito longa, podemos escolher um caminho de Ampère que seja um círculo de raio
centrado no eixo da casca. Nesse caso, o campo magnético
terá a mesma magnitude em todos os pontos do círculo e será tangente a ele.
Então, a integral se simplifica para:
Aqui,
é a magnitude do campo magnético que queremos encontrar.
Passo 4
Agora, precisamos determinar
, que é a corrente total “encapsulada” pelo caminho de Ampère. Quando
, estamos dentro do vazio interno da casca cilíndrica. Como a corrente está distribuída apenas entre
e
, não há corrente dentro da região
.
Portanto:
Passo 5
Substituindo
na equação de Ampère:
O que simplifica para:
Passo 6
Para que a equação seja verdadeira, a única possibilidade é que
. Ou seja, o campo magnético dentro do vazio da casca cilíndrica é nulo.
Resposta
A magnitude do campo magnético para
é
.
Exercícios relacionados
Usando as equações de Maxwell no vácuo, mostre que o campo elétrico e o campo magnético obedecem a equação de onda tridimensional. Pode ser útil a identidade:
, para qualquer vetor
.
Se a corrente varia no tempo como
, sendo
e
constantes positivas, determine a corrente induzida na espira e o sentido desta. Justifique sua resposta.
Se a corrente no solenóide varia com o tempo de acordo com
, sendo
e
duas constantes positivas, mostre que a corrente induzida na bobina é
e determine o sentido desta corrente (mesmo sentido ou sentido contrário à corrente
no solenóide), justificando sua resposta.
Uma pequena espira circular de raio
e resistência
desliza com velocidade
constante ao longo do eixo de outra espira circular de raio
percorrida por uma corrente
, aproximando-se dela, com os planos das duas espiras paralelos. Calcule a corrente induzida na espira de raio
para uma distância
entre os centros das duas espiras. Qual é o sentido relativo das correntes nas duas espiras?