Usando as equações de Maxwell no vácuo, mostre que o campo elétrico e o campo magnético obedecem a equação de onda tridimensional. Pode ser útil a identidade: nabla times(nabla times X)=nabla(nabla cdot X)-nabla^2 X, para qualquer vetor X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para usar as equações de Maxwell no vácuo e mostrar que o campo elétrico ( ) e o campo magnético ( ) obedecem a uma equação de onda tridimensional. Para isso, vamos precisar entender as equações de Maxwell no vácuo e aplicar uma identidade vetorial que nos ajuda a manipular expressões com derivadas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as equações de Maxwell no vácuo. No vácuo, sem cargas ( nabla cdot E = 0 ) nem correntes ( nabla cdot B = 0 ), elas são:
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico:
    nabla times E = -partial Bpartial t
  2. Lei de Gauss para o campo magnético:
    nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t
  3. Lei de Faraday da indução:
  4. Lei de Ampère-Maxwell:
Essas quatro equações vão ser a base para mostrarmos que e satisfazem a equação de onda.

Passo 3

Vamos focar na Lei de Faraday da indução:
nabla times E = -partial Bpartial t
Nosso objetivo é manipular essa equação para chegar à equação de onda para nabla times (nabla times E) = nabla times (-partial Bpartial t) . Para isso, vamos aplicar o operador rotacional ( ) dos dois lados da equação:

Passo 4

Agora, vamos utilizar a identidade vetorial que foi mencionada no enunciado:
nabla times (nabla times X) = nabla(nabla cdot X) - nabla^2 X
Aplicando essa identidade com nabla times (nabla times E) = nabla(nabla cdot E) - nabla^2 E , temos:
nabla times (nabla times E) = -nabla^2 E
Mas, pela Lei de Gauss para o campo elétrico, . Então, a equação simplifica para:

Passo 5

Voltando à equação que obtivemos no Passo 3:
nabla times (nabla times E) = nabla times (-partial Bpartial t)
Substituindo pelo que encontramos no Passo 4:
-nabla^2 E = -partialpartial t (nabla times B)
Agora, aplicamos a Lei de Ampère-Maxwell na parte direita da equação:
nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t
Substituindo isso na equação:
-nabla^2 E = -mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2
Multiplicando ambos os lados por nabla^2 E = mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2 :

Passo 6

Chegamos à equação de onda para o campo elétrico:
nabla^2 E = mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2
De forma semelhante, podemos repetir o processo começando pelas equações de Maxwell para nabla^2 B = mu0 epsilon0 partial^2 Bpartial t^2 e obteremos a equação de onda para o campo magnético:

Resposta

Assim, utilizando as equações de Maxwell no vácuo e a identidade vetorial fornecida, demonstramos que tanto o campo elétrico ( nabla^2 E = mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2 ) quanto o campo magnético ( nabla^2 B = mu0 epsilon0 partial^2 Bpartial t^2 ) obedecem à equação de onda tridimensional:

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