Usando as equações de Maxwell no vácuo, mostre que o campo elétrico e o campo magnético obedecem a equação de onda tridimensional. Pode ser útil a identidade:
, para qualquer vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para usar as equações de Maxwell no vácuo e mostrar que o campo elétrico (
) e o campo magnético (
) obedecem a uma equação de onda tridimensional. Para isso, vamos precisar entender as equações de Maxwell no vácuo e aplicar uma identidade vetorial que nos ajuda a manipular expressões com derivadas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as equações de Maxwell no vácuo. No vácuo, sem cargas (
) nem correntes (
), elas são:
-
Lei de Gauss para o campo elétrico:
-
Lei de Gauss para o campo magnético:
-
Lei de Faraday da indução:
-
Lei de Ampère-Maxwell:
Essas quatro equações vão ser a base para mostrarmos que
e
satisfazem a equação de onda.
Passo 3
Vamos focar na Lei de Faraday da indução:
Nosso objetivo é manipular essa equação para chegar à equação de onda para
. Para isso, vamos aplicar o operador rotacional (
) dos dois lados da equação:
Passo 4
Agora, vamos utilizar a identidade vetorial que foi mencionada no enunciado:
Aplicando essa identidade com
, temos:
Mas, pela Lei de Gauss para o campo elétrico,
. Então, a equação simplifica para:
Passo 5
Voltando à equação que obtivemos no Passo 3:
Substituindo pelo que encontramos no Passo 4:
Agora, aplicamos a Lei de Ampère-Maxwell na parte direita da equação:
Substituindo isso na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Chegamos à equação de onda para o campo elétrico:
De forma semelhante, podemos repetir o processo começando pelas equações de Maxwell para
e obteremos a equação de onda para o campo magnético:
Resposta
Assim, utilizando as equações de Maxwell no vácuo e a identidade vetorial fornecida, demonstramos que tanto o campo elétrico (
) quanto o campo magnético (
) obedecem à equação de onda tridimensional:
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, sendo
e
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Seja
, com
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26a
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12a
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