Uma pequena espira circular de raio
e resistência
desliza com velocidade
constante ao longo do eixo de outra espira circular de raio
percorrida por uma corrente
, aproximando-se dela, com os planos das duas espiras paralelos. Calcule a corrente induzida na espira de raio
para uma distância
entre os centros das duas espiras. Qual é o sentido relativo das correntes nas duas espiras?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas espiras circulares: uma maior com raio
que está carregando uma corrente
e uma menor com raio
e resistência
. A espira menor está se movendo com velocidade constante
ao longo do eixo da espira maior, aproximando-se dela. A distância entre os centros das espiras é
, e sabemos que
e
. Nosso objetivo é calcular a corrente induzida na espira menor e determinar o sentido relativo das correntes nas duas espiras. Vamos precisar usar conceitos de indução eletromagnética e entender como campos magnéticos interagem entre as espiras.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a corrente na espira maior gera um campo magnético no espaço ao redor dela. Como a espira maior tem um raio
muito maior que
e está a uma distância
muito maior que
, podemos simplificar o campo magnético produzido por ela como o de um dipolo magnético. A intensidade do campo magnético no eixo de uma espira circular é dada por:
Onde:
-
é a permeabilidade do vácuo, -
é a corrente na espira maior, -
é o raio da espira maior, -
é a distância ao longo do eixo.
Como
e
, podemos aproximar
, então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fluxo magnético
através da espira menor. O fluxo magnético é dado pelo produto do campo magnético pela área da espira e o cosseno do ângulo entre o campo e a normal da área. Como as espiras estão com os planos paralelos, o ângulo é zero e o cosseno é 1. A área
da espira menor é:
Então, o fluxo magnético é:
Passo 4
Como a espira menor está se movendo com velocidade
, a distância
está mudando com o tempo. Vamos considerar que
está diminuindo, ou seja,
. A taxa de variação do fluxo magnético em relação ao tempo é:
De acordo com a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, a força eletromotriz (emf) induzida é:
Passo 5
Agora, usando a Lei de Ohm, que relaciona a emf induzida
com a corrente induzida
e a resistência
:
Substituindo a expressão da emf:
O sinal negativo indica que a corrente induzida tem um sentido que se opõe à causa que a produziu, de acordo com a Lei de Lenz. Isso significa que a corrente induzida na espira menor fluirá de forma a criar um campo magnético que se opõe à mudança do fluxo magnético causado pela aproximação da espira maior.
Resposta
A corrente induzida na espira de raio
é:
O sentido das correntes nas duas espiras é tal que elas circulam em sentidos opostos, ou seja, a corrente induzida na espira menor flui de maneira a se opor à corrente
na espira maior.