Uma pequena espira circular de raio a e resistência R desliza com velocidade v constante ao longo do eixo de outra espira circular de raio b gg a percorrida por uma corrente I, aproximando-se dela, com os planos das duas espiras paralelos. Calcule a corrente induzida na espira de raio a para uma distância z gg a entre os centros das duas espiras. Qual é o sentido relativo das correntes nas duas espiras?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas espiras circulares: uma maior com raio que está carregando uma corrente e uma menor com raio e resistência . A espira menor está se movendo com velocidade constante ao longo do eixo da espira maior, aproximando-se dela. A distância entre os centros das espiras é , e sabemos que e . Nosso objetivo é calcular a corrente induzida na espira menor e determinar o sentido relativo das correntes nas duas espiras. Vamos precisar usar conceitos de indução eletromagnética e entender como campos magnéticos interagem entre as espiras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a corrente na espira maior gera um campo magnético no espaço ao redor dela. Como a espira maior tem um raio B(z) = mu0 I b^22(z^2 + b^2)^3/2 muito maior que B(z) approx mu0 I b^22 z^3 e está a uma distância muito maior que , podemos simplificar o campo magnético produzido por ela como o de um dipolo magnético. A intensidade do campo magnético no eixo de uma espira circular é dada por:
Onde:
  • é a permeabilidade do vácuo,
  • é a corrente na espira maior,
  • é o raio da espira maior,
  • é a distância ao longo do eixo.
Como e , podemos aproximar , então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fluxo magnético A = pi a^2 através da espira menor. O fluxo magnético é dado pelo produto do campo magnético pela área da espira e o cosseno do ângulo entre o campo e a normal da área. Como as espiras estão com os planos paralelos, o ângulo é zero e o cosseno é 1. A área Phi = B(z) cdot A = mu0 I b^22 z^3 cdot pi a^2 = mu0 pi a^2 I b^22 z^3 da espira menor é:
Então, o fluxo magnético é:

Passo 4

Como a espira menor está se movendo com velocidade dPhidt = ddt ( mu0 pi a^2 I b^22 z^3 ) = mu0 pi a^2 I b^22 cdot (-3) z^-4 cdot dzdt = 3 mu0 pi a^2 I b^2 v2 z^4 , a distância E = -dPhidt = -3 mu0 pi a^2 I b^2 v2 z^4 está mudando com o tempo. Vamos considerar que está diminuindo, ou seja, . A taxa de variação do fluxo magnético em relação ao tempo é:
De acordo com a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, a força eletromotriz (emf) induzida é:

Passo 5

Agora, usando a Lei de Ohm, que relaciona a emf induzida E = Iind R com a corrente induzida Iind = ER = -3 mu0 pi a^2 I b^2 v2 R z^4 e a resistência :
Substituindo a expressão da emf:
O sinal negativo indica que a corrente induzida tem um sentido que se opõe à causa que a produziu, de acordo com a Lei de Lenz. Isso significa que a corrente induzida na espira menor fluirá de forma a criar um campo magnético que se opõe à mudança do fluxo magnético causado pela aproximação da espira maior.

Resposta

A corrente induzida na espira de raio Iind = -3 mu0 pi a^2 I b^2 v2 R z^4 é:
O sentido das correntes nas duas espiras é tal que elas circulam em sentidos opostos, ou seja, a corrente induzida na espira menor flui de maneira a se opor à corrente na espira maior.

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