Uma corrente uniforme de comprimento L e massa M encontra-se numa mesa horizontal sem atrito com uma parte muito pequena pendurada na borda da mesa. A corrente começa a cair sob o peso da parte pendurada. Obtenha a expressão para a velocidade da corrente no instante em que o comprimento da corrente pendurada se torna L / n onde n >1.

Passo 1

Então, a questão fala sobre uma corrente (ou correia) que está parcialmente pendurada em uma mesa sem atrito. A corrente tem comprimento total L e massa M. Uma parte pequena dela está pendurada na borda da mesa e começa a cair por causa do seu próprio peso. A tarefa é encontrar uma expressão para a velocidade da corrente no exato momento em que a parte pendurada tem comprimento L/n, onde n é um número maior que 1.
Aqui, vamos usar conceitos de conservação de energia e dinâmica de corpos em movimento. Precisamos considerar a energia potencial gravitacional e a energia cinética da corrente para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a energia potencial inicial da parte da corrente que vai começar a cair. Quando a corrente está quase parada, a maior parte da energia está na forma de energia potencial gravitacional.
A energia potencial ( U) de um objeto é dada por:
U = m cdot g cdot h
onde:
  • m é a massa
  • g é a aceleração da gravidade
  • h é a altura

Passo 3

Como a corrente é uniforme, a massa por unidade de comprimento é lambda = ML. Quando a parte pendurada tem comprimento L/n, a massa dessa parte é m = lambda cdot Ln = Mn.
A altura média da massa pendurada é L2n, já que a massa está caindo uniformemente.
Logo, a energia potencial da parte pendurada é:
U = Mn cdot g cdot L2n = M g L2 n^2

Passo 4

Agora, vamos considerar que essa energia potencial foi convertida em energia cinética ( K) da corrente. A energia cinética é dada por:
K = 12 M v^2
onde v é a velocidade da corrente.
Como não há perdas de energia (a mesa é sem atrito), podemos igualar a energia potencial perdida à energia cinética adquirida:
M g L2 n^2 = 12 M v^2

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade v:
Primeiro, simplificamos os termos:
g L2 n^2 = 12 v^2
Multiplicando ambos os lados por 2:
g Ln^2 = v^2
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
v = raizg Ln^2 = raizg Ln

Resposta

A velocidade da corrente quando a parte pendurada mede L/n é:
v = raizg Ln

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