Uma corrente uniforme de comprimento e massa encontra-se numa mesa horizontal sem atrito com uma parte muito pequena pendurada na borda da mesa. A corrente começa a cair sob o peso da parte pendurada. Obtenha a expressão para a velocidade da corrente no instante em que o comprimento da corrente pendurada se torna onde .

Passo 1

Então, a questão fala sobre uma corrente (ou correia) que está parcialmente pendurada em uma mesa sem atrito. A corrente tem comprimento total e massa . Uma parte pequena dela está pendurada na borda da mesa e começa a cair por causa do seu próprio peso. A tarefa é encontrar uma expressão para a velocidade da corrente no exato momento em que a parte pendurada tem comprimento , onde é um número maior que 1.
Aqui, vamos usar conceitos de conservação de energia e dinâmica de corpos em movimento. Precisamos considerar a energia potencial gravitacional e a energia cinética da corrente para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a energia potencial inicial da parte da corrente que vai começar a cair. Quando a corrente está quase parada, a maior parte da energia está na forma de energia potencial gravitacional.
A energia potencial ( ) de um objeto é dada por:
onde:
  • é a massa
  • é a aceleração da gravidade
  • é a altura

Passo 3

Como a corrente é uniforme, a massa por unidade de comprimento é . Quando a parte pendurada tem comprimento , a massa dessa parte é .
A altura média da massa pendurada é , já que a massa está caindo uniformemente.
Logo, a energia potencial da parte pendurada é:

Passo 4

Agora, vamos considerar que essa energia potencial foi convertida em energia cinética ( ) da corrente. A energia cinética é dada por:
onde é a velocidade da corrente.
Como não há perdas de energia (a mesa é sem atrito), podemos igualar a energia potencial perdida à energia cinética adquirida:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade :
Primeiro, simplificamos os termos:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A velocidade da corrente quando a parte pendurada mede é:

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