Uma corrente uniforme de comprimento
e massa
encontra-se numa mesa horizontal sem atrito com uma parte muito pequena pendurada na borda da mesa. A corrente começa a cair sob o peso da parte pendurada. Obtenha a expressão para a velocidade da corrente no instante em que o comprimento da corrente pendurada se torna
onde
.
Passo 1
Então, a questão fala sobre uma corrente (ou correia) que está parcialmente pendurada em uma mesa sem atrito. A corrente tem comprimento total
e massa
. Uma parte pequena dela está pendurada na borda da mesa e começa a cair por causa do seu próprio peso. A tarefa é encontrar uma expressão para a velocidade da corrente no exato momento em que a parte pendurada tem comprimento
, onde
é um número maior que 1.
Aqui, vamos usar conceitos de conservação de energia e dinâmica de corpos em movimento. Precisamos considerar a energia potencial gravitacional e a energia cinética da corrente para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a energia potencial inicial da parte da corrente que vai começar a cair. Quando a corrente está quase parada, a maior parte da energia está na forma de energia potencial gravitacional.
A energia potencial (
) de um objeto é dada por:
onde:
-
é a massa -
é a aceleração da gravidade -
é a altura
Passo 3
Como a corrente é uniforme, a massa por unidade de comprimento é
. Quando a parte pendurada tem comprimento
, a massa dessa parte é
.
A altura média da massa pendurada é
, já que a massa está caindo uniformemente.
Logo, a energia potencial da parte pendurada é:
Passo 4
Agora, vamos considerar que essa energia potencial foi convertida em energia cinética (
) da corrente. A energia cinética é dada por:
onde
é a velocidade da corrente.
Como não há perdas de energia (a mesa é sem atrito), podemos igualar a energia potencial perdida à energia cinética adquirida:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade
:
Primeiro, simplificamos os termos:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A velocidade da corrente quando a parte pendurada mede
é: