Uma haste rígida de comprimento 1,8metros e massa 4 kg está deitada sobre uma mesa horizontal sem atrito e articulada no ponto P em uma extremidade (conforme Figura). Um objeto pontual com mesma massa está indo para a direita com a velocidade vi=2,1 m / s. Ele colide com a haste no ponto médio da haste e rebate para trás com velocidade vf=(1 / 7) vi. Após a colisão, a haste gira no sentido horário sobre o seu ponto de articulação P com velocidade angular omegaf. O momento de inércia de uma haste sobre o centro de massa é Icm =1 / 12 md^2
Calcule a velocidade angular da barra após colisão.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma haste rígida de 1,8 metros de comprimento e 4 kg de massa, apoiada em um ponto fixo na mesa sem atrito. Um objeto com a mesma massa da haste está se movendo na direção da haste com uma velocidade inicial de 2,1 m/s. Esse objeto colide com a haste no ponto médio, troca de direção com uma velocidade final menor e faz com que a haste comece a girar. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a velocidade angular da haste depois dessa colisão. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de momentum angular e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento angular antes da colisão. O momento angular (L) é dado pela fórmula:
L = m cdot v cdot r
Onde:
  • Linicial = 4,kg cdot 2,1,m/s cdot 0,9,m é a massa do objeto,
  • é a velocidade,
  • é a distância do ponto de rotação (que, nesse caso, é o ponto P até o ponto médio da haste).
Como a haste tem 1,8 metros, o ponto de colisão está a 0,9 metros de P.
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento angular após a colisão. O objeto rebate com uma velocidade de vf = 17 cdot 2,1,m/s = 0,3,m/s .
Primeiro, a velocidade final do objeto:
Lobjeto final = 4,kg cdot (-0,3,m/s) cdot 0,9,m
O momento angular do objeto após a colisão será:
O sinal negativo indica que a direção da velocidade mudou.

Passo 4

A haste ganha um momento angular devido à colisão. Para isso, precisamos calcular o momento de inércia da haste em relação ao ponto P. Sabemos que o momento de inércia em relação ao centro de massa é:
Icm = 112 m d^2
Para o momento de inércia em relação a P, usamos o Teorema de Steiner:
IP = Icm + m ( L2 )^2
Substituindo os valores:
IP = 112 cdot 4,kg cdot (1,8,m)^2 + 4,kg cdot (0,9,m)^2

Passo 5

Agora, aplicamos a conservação do momento angular. O momento angular inicial deve ser igual ao momento angular final:
Linicial = Lobjeto final + IP cdot omegaf
Vamos substituir os valores que já calculamos e resolver para 4 cdot 2,1 cdot 0,9 = 4 cdot (-0,3) cdot 0,9 + IP cdot omegaf :

Passo 6

Resolvendo a equação para IP = 112 cdot 4 cdot 3,24 + 4 cdot 0,81 = 1,08 + 3,24 = 4,32,kg cdot m^2 :
Primeiro, calculamos 7,56 = -1,08 + 4,32 cdot omegaf :
7,56 + 1,08 = 4,32 cdot omegaf
Agora, substituímos na equação:
8,64 = 4,32 cdot omegaf
omegaf = 8,644,32 = 2,rad/s

Resposta

A velocidade angular da haste após a colisão é de 2 rad/s no sentido horário.

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