Uma haste rígida de comprimento 1,8metros e massa 4 kg está deitada sobre uma mesa horizontal sem atrito e articulada no ponto P em uma extremidade (conforme Figura). Um objeto pontual com mesma massa está indo para a direita com a velocidade
. Ele colide com a haste no ponto médio da haste e rebate para trás com velocidade
. Após a colisão, a haste gira no sentido horário sobre o seu ponto de articulação P com velocidade angular
. O momento de inércia de uma haste sobre o centro de massa é Icm
Calcule a velocidade angular da barra após colisão.
Calcule a velocidade angular da barra após colisão.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma haste rígida de 1,8 metros de comprimento e 4 kg de massa, apoiada em um ponto fixo na mesa sem atrito. Um objeto com a mesma massa da haste está se movendo na direção da haste com uma velocidade inicial de 2,1 m/s. Esse objeto colide com a haste no ponto médio, troca de direção com uma velocidade final menor e faz com que a haste comece a girar. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a velocidade angular da haste depois dessa colisão. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de momentum angular e momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento angular antes da colisão. O momento angular (L) é dado pela fórmula:
Onde:
-
é a massa do objeto, -
é a velocidade, -
é a distância do ponto de rotação (que, nesse caso, é o ponto P até o ponto médio da haste).
Como a haste tem 1,8 metros, o ponto de colisão está a 0,9 metros de P.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento angular após a colisão. O objeto rebate com uma velocidade de
.
Primeiro, a velocidade final do objeto:
O momento angular do objeto após a colisão será:
O sinal negativo indica que a direção da velocidade mudou.
Passo 4
A haste ganha um momento angular devido à colisão. Para isso, precisamos calcular o momento de inércia da haste em relação ao ponto P. Sabemos que o momento de inércia em relação ao centro de massa é:
Para o momento de inércia em relação a P, usamos o Teorema de Steiner:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, aplicamos a conservação do momento angular. O momento angular inicial deve ser igual ao momento angular final:
Vamos substituir os valores que já calculamos e resolver para
:
Passo 6
Resolvendo a equação para
:
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos na equação:
Resposta
A velocidade angular da haste após a colisão é de 2 rad/s no sentido horário.
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onde
.