No dispositivo representado na figura, o atrito entre o bloco e o plano inclinado é desprezível; o bloco de massa M está preso a uma mola ideal de constante elástica k. Empurra-se o bloco contra a mola até esta se achar comprimida em uma distancia d em relação ao seu comprimento natural. A seguir, o bloco é largado a partir do repouso. Qual a distância percorrida pelo bloco até parar pela primeira vez? A gravidade local vale g.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um bloco de massa preso a uma mola ideal com constante elástica em um plano inclinado sem atrito. A mola é comprimida por uma distância e depois o bloco é solto do repouso. Queremos descobrir qual a distância que o bloco percorre até parar pela primeira vez. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Energia Mecânica e Lei de Conservação da Energia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as energias envolvidas no sistema. Quando a mola está comprimida, ela armazena Energia Potencial Elástica. A fórmula para essa energia é:
Ue = 12 k d^2
Essa é toda a energia inicial do sistema quando o bloco está comprimido.

Passo 3

Quando soltamos o bloco, essa energia da mola vai ser convertida em Energia Potencial Gravitacional à medida que o bloco sobe pelo plano inclinado. A fórmula para a energia potencial gravitacional é:
Ug = m g h
Onde:
  • é a massa do bloco,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura que o bloco sobe.

Passo 4

Como o plano está inclinado, a altura h = s sin theta que o bloco sobe está relacionada com a distância percorrida no plano e o ângulo de inclinação pelo seno:
Mas como não temos o ângulo na questão, vamos considerar que a energia da mola vai totalmente para a energia gravitacional, sem perda, já que o atrito é desprezível.

Passo 5

Aplicando a Lei de Conservação da Energia, a energia inicial da mola é igual à energia gravitacional no ponto mais alto:
12 k d^2 = m g s
Aqui, é a distância que o bloco percorre até parar.

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar s = 12 k d^2m g = k d^22 m g :

Resposta

A distância percorrida pelo bloco até parar pela primeira vez é:
s = k d^22 M g

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