Uma haste delgada de comprimento L=2,13 m e de massa desprezível pode girar em um plano vertical, apoiada num de seus extremos. A haste é afastada de theta=35,5^circ e largada, conforme na figura. Qual a velocidade da bola de chumbo presa à extremidade inferior, ao passar pela posição mais baixa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma haste fina que pode girar num plano vertical, com uma bola de chumbo presa na extremidade inferior. A haste tem comprimento L = 2,13 m e é afastada de um ângulo de theta = 35,5^circ antes de ser largada. Nosso objetivo é encontrar a velocidade da bola quando ela passa pela posição mais baixa. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética, aplicando a conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia potencial gravitacional da bola quando a haste está afastada. A energia potencial ( U) depende da altura ( h) da bola em relação à posição mais baixa. Podemos encontrar h usando:
h = L (1 - costheta)
Substituindo os valores:
h = 2,13 (1 - cos35,5^circ)

Passo 3

Agora que temos a altura, calculamos a energia potencial inicial da bola:
U = mgh
Onde:
  • m é a massa da bola de chumbo,
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 m/s^2),
  • h é a altura que acabamos de encontrar.

Passo 4

Quando a haste passa pela posição mais baixa, toda essa energia potencial se transforma em energia cinética ( K) da bola:
K = 12mv^2
Pela conservação de energia, U = K. Então:
mgh = 12mv^2
Podemos simplificar m dos dois lados:
gh = 12v^2
Resolvendo para v:
v = raiz2gh

Passo 5

Finalmente, substituímos os valores para encontrar a velocidade:
v = raiz2 cdot 9,81 cdot 2,13 (1 - cos35,5^circ)
Calculando isso, obtemos a velocidade da bola na posição mais baixa.

Resposta

A velocidade da bola de chumbo ao passar pela posição mais baixa é aproximadamente v = raiz2 cdot 9,81 cdot 2,13 (1 - cos35,5^circ) , m/s.

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