Uma haste delgada de comprimento
e de massa desprezível pode girar em um plano vertical, apoiada num de seus extremos. A haste é afastada de
e largada, conforme na figura. Qual a velocidade da bola de chumbo presa à extremidade inferior, ao passar pela posição mais baixa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma haste fina que pode girar num plano vertical, com uma bola de chumbo presa na extremidade inferior. A haste tem comprimento
e é afastada de um ângulo de
antes de ser largada. Nosso objetivo é encontrar a velocidade da bola quando ela passa pela posição mais baixa. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética, aplicando a conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia potencial gravitacional da bola quando a haste está afastada. A energia potencial (
) depende da altura (
) da bola em relação à posição mais baixa. Podemos encontrar
usando:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora que temos a altura, calculamos a energia potencial inicial da bola:
Onde:
-
é a massa da bola de chumbo, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura que acabamos de encontrar.
Passo 4
Quando a haste passa pela posição mais baixa, toda essa energia potencial se transforma em energia cinética (
) da bola:
Pela conservação de energia,
. Então:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Resolvendo para
:
Passo 5
Finalmente, substituímos os valores para encontrar a velocidade:
Calculando isso, obtemos a velocidade da bola na posição mais baixa.
Resposta
A velocidade da bola de chumbo ao passar pela posição mais baixa é aproximadamente
.