O sistema apresentado é composto de duas esferas de massa m e unidas por uma haste imponderável de comprimento 3 L que pode girar em torno do eixo O, num plano vertical. Se o sistema for deixado livre na posição vertical, qual a velocidade angular máxima que as esferas adquirem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um sistema de duas esferas com massas m e M (onde M é o dobro de m) ligadas por uma haste leve de comprimento total 3L. Essa haste pode girar em torno de um ponto fixa, o eixo O, em um plano vertical. Quando liberamos o sistema da posição vertical, queremos descobrir qual é a velocidade angular máxima que as esferas atingem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética rotational, aplicando a conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a altura que cada esfera desce quando o sistema começa a girar. Quando o sistema está vertical, as esferas estão na posição mais alta. Conforme começam a girar, elas descem, convertendo energia potencial em energia cinética.

Passo 3

A energia potencial inicial (quando está na posição vertical) é só devidas às alturas das esferas. Vamos assumir que o eixo O está no topo da vertical. A esfera de massa m está a uma distância de 3L do eixo, então sua altura inicial é 0. A esfera de massa M = 2m está a uma distância de 0 do eixo, então também sua altura inicial é 0. Porém, na posição final (quando a velocidade angular é máxima), as esferas estarão mais baixas.

Passo 4

Vamos calcular a altura que cada esfera desce. Se a haste gira até uma posição onde a haste está totalmente horizontal, a esfera m desce uma altura de 3L e a esfera M desce uma altura de 0 (já que está no eixo O). A energia potencial perdida será convertida em energia cinética rotational.

Passo 5

A variação da energia potencial (ΔU) será:
Isso porque apenas a esfera m desce 3L.

Passo 6

A energia cinética rotational (K) do sistema é dada por:
onde é o momento de inércia do sistema e é a velocidade angular.

Passo 7

Vamos calcular o momento de inércia (I). Como a haste é leve, só consideramos as esferas:

Passo 8

Aplicando a conservação de energia, a energia potencial perdida é igual à energia cinética adquirida:

Passo 9

Agora, vamos resolver para :

Resposta

A velocidade angular máxima que as esferas adquirem é:

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