Se a corrente varia no tempo como I=I0 e^-f t, sendo I0 e f constantes positivas, determine a corrente induzida na espira e o sentido desta. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que a corrente elétrica varia no tempo conforme a expressão , onde e são constantes positivas. A gente precisa descobrir qual é a corrente induzida na espira e também o sentido dessa corrente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Eletromagnetismo, especificamente a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e a Lei de Lenz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é corrente induzida. Quando a corrente em um circuito muda com o tempo, ela gera um campo magnético que também varia. Essa variação no campo magnético induz uma força eletromotriz (ou FEM) na espira, que por sua vez gera uma corrente induzida.

Passo 3

A Lei de Faraday nos diz que a FEM induzida ( E = -dPhidt ) é proporcional à taxa de variação do fluxo magnético ( ) que passa pela espira. A fórmula é:
O sinal negativo vem da Lei de Lenz, que diz que a corrente induzida sempre se opõe à variação que a produziu.

Passo 4

Sabemos que o fluxo magnético Phi = L cdot I é dado por:
E = -d(L cdot I)dt
onde E = -L cdot dIdt é a indutância da espira e é a corrente que passa por ela. Substituindo isso na expressão da FEM, temos:
Como é uma constante, a derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de dIdt = ddt ( I0 e^-f t ) = -f I0 e^-f t em relação ao tempo:
E = -L cdot (-f I0 e^-f t) = L f I0 e^-f t
Substituindo na expressão da FEM:

Passo 6

Para encontrar a corrente induzida ( E = Iind cdot R ), usamos a relação entre FEM, resistência ( Iind = ER = L f I0 e^-f tR ) e corrente, que é dada por:
Isolando :

Resposta

A corrente induzida na espira é e seu sentido é tal que se opõe à variação da corrente original, conforme a Lei de Lenz.

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