Seja B=B0[1+sen(k x+omega t)] y, com B0 uma constante positiva, o campo magnético correspondente a certa onda eletromagnética plana se propagando no vácuo.
26a
Usando as equações de Maxwell sem fontes calcule o campo elétrico correspondente a esta onda.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um campo magnético B definido por:
B = B0[1 + sin(kx + omega t)] y
onde B0 é uma constante positiva, k é o número de onda, omega é a frequência angular, x é a posição e t é o tempo. Esse campo magnético pertence a uma onda eletromagnética plana que está se propagando no vácuo.
A questão quer que a gente, usando as equações de Maxwell sem fontes (ou seja, no vácuo), calcule o campo elétrico E correspondente a essa onda. Para isso, vamos precisar entender como os campos elétrico e magnético se relacionam nas ondas eletromagnéticas no vácuo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Maxwell no vácuo. Elas são:
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico: nabla cdot E = 0
  2. Lei de Gauss para o campo magnético: nabla cdot B = 0
  3. Lei de Faraday: nabla times E = -partial Bpartial t
  4. Lei de Ampère-Maxwell: nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t
Como estamos no vácuo, não há cargas nem correntes, por isso as equações são simplificadas.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar E sabendo B. Vamos usar a Lei de Faraday, que relaciona o campo elétrico com a variação temporal do campo magnético:
nabla times E = -partial Bpartial t
Vamos calcular o lado direito dessa equação, ou seja, a derivada temporal de B.

Passo 4

Calculando a derivada temporal de B:
partial Bpartial t = B0 partialpartial t[1 + sin(kx + omega t)] y = B0 omega cos(kx + omega t) y
Então, a Lei de Faraday fica:
nabla times E = -B0 omega cos(kx + omega t) y

Passo 5

Agora, precisamos assumir uma forma para E. Sabemos que em uma onda eletromagnética plana que se propaga no vácuo, os campos E e B são perpendiculares entre si e à direção de propagação. Observando B, que está na direção y, podemos inferir que E está na direção z.
Então, vamos supor que:
E = E0 sin(kx + omega t) z
onde E0 é a amplitude do campo elétrico que precisamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular o rotacional de E:
nabla times E = ( partial Ezpartial y - partial Eypartial z ) x + ( partial Expartial z - partial Ezpartial x ) y + ( partial Eypartial x - partial Expartial y ) z
Como E está apenas na direção z e depende somente de x e t, simplificamos para:
nabla times E = -partial Ezpartial x y
Substituindo E:
nabla times E = -E0 k cos(kx + omega t) y

Passo 7

Igualando as duas expressões para nabla times E:
-E0 k cos(kx + omega t) y = -B0 omega cos(kx + omega t) y
Podemos simplificar eliminando os termos semelhantes:
E0 k = B0 omega

Passo 8

Queremos encontrar E0, então isolamos ele:
E0 = B0 omegak
Mas sabemos que para uma onda eletromagnética no vácuo, a relação entre omega e k é dada pela velocidade da luz c:
omega = c k
Substituindo na expressão de E0:
E0 = B0 c kk = B0 c

Resposta

O campo elétrico correspondente é:
E = B0 c sin(kx + omega t) z

Exercícios relacionados

Em termos das grandezas dadas, escreva uma expressão para o momento linear da partícula.
Usando estas aproximações, mostre que o campo magnético nos pontos do eixo z onde z gg ell pode ser escrito como
B=mu0 ms4 pi ell(1r1^2-1r2^2)
onde r1=z-ell / 2 e r2=z+ell / 2, e ms=n I pi ell R^2=N I pi R^2 é a magnitude do momento magnético do solenóide.
Se a corrente varia no tempo como I=I0 e^-f t, sendo I0 e f constantes positivas, determine a corrente induzida na espira e o sentido desta. Justifique sua resposta.
Usando as equações de Maxwell no vácuo, mostre que o campo elétrico e o campo magnético obedecem a equação de onda tridimensional. Pode ser útil a identidade: nabla times(nabla times X)=nabla(nabla cdot X)-nabla^2 X, para qualquer vetor X.