Seja
, com
uma constante positiva, o campo magnético correspondente a certa onda eletromagnética plana se propagando no vácuo.
26a
Usando as equações de Maxwell sem fontes calcule o campo elétrico correspondente a esta onda.
26a
Usando as equações de Maxwell sem fontes calcule o campo elétrico correspondente a esta onda.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um campo magnético
definido por:
onde
é uma constante positiva,
é o número de onda,
é a frequência angular,
é a posição e
é o tempo. Esse campo magnético pertence a uma onda eletromagnética plana que está se propagando no vácuo.
A questão quer que a gente, usando as equações de Maxwell sem fontes (ou seja, no vácuo), calcule o campo elétrico
correspondente a essa onda. Para isso, vamos precisar entender como os campos elétrico e magnético se relacionam nas ondas eletromagnéticas no vácuo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Maxwell no vácuo. Elas são:
- Lei de Gauss para o campo elétrico:
- Lei de Gauss para o campo magnético:
- Lei de Faraday:
- Lei de Ampère-Maxwell:
Como estamos no vácuo, não há cargas nem correntes, por isso as equações são simplificadas.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
sabendo
. Vamos usar a Lei de Faraday, que relaciona o campo elétrico com a variação temporal do campo magnético:
Vamos calcular o lado direito dessa equação, ou seja, a derivada temporal de
.
Passo 4
Calculando a derivada temporal de
:
Então, a Lei de Faraday fica:
Passo 5
Agora, precisamos assumir uma forma para
. Sabemos que em uma onda eletromagnética plana que se propaga no vácuo, os campos
e
são perpendiculares entre si e à direção de propagação. Observando
, que está na direção
, podemos inferir que
está na direção
.
Então, vamos supor que:
onde
é a amplitude do campo elétrico que precisamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular o rotacional de
:
Como
está apenas na direção
e depende somente de
e
, simplificamos para:
Substituindo
:
Passo 7
Igualando as duas expressões para
:
Podemos simplificar eliminando os termos semelhantes:
Passo 8
Queremos encontrar
, então isolamos ele:
Mas sabemos que para uma onda eletromagnética no vácuo, a relação entre
e
é dada pela velocidade da luz
:
Substituindo na expressão de
:
Resposta
O campo elétrico correspondente é:
Exercícios relacionados
Em termos das grandezas dadas, escreva uma expressão para o momento linear da partícula.
Usando estas aproximações, mostre que o campo magnético nos pontos do eixo
onde
pode ser escrito como
onde
e
, e
é a magnitude do momento magnético do solenóide.
Se a corrente varia no tempo como
, sendo
e
constantes positivas, determine a corrente induzida na espira e o sentido desta. Justifique sua resposta.
Usando as equações de Maxwell no vácuo, mostre que o campo elétrico e o campo magnético obedecem a equação de onda tridimensional. Pode ser útil a identidade:
, para qualquer vetor
.