Uma corrida de dragsters tem duas fases distintas: na primeira fase, a mais curta, o movimento do carro é perfeitamente não determinístico, dependendo das derrapagens e da forma como o condutor consegue dominar o carro. Na segunda fase, o carro tem um movimento muito rápido, cuja aceleração está perfeitamente definida. Considere-se a prova do condutor Don Nase de duração 7.5 s . Na primeira fase os valores da aceleração em cada instante encontram-se na tabela:
Ti 0 0,5 1 1,5
Ti | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 A(ti) | 0 | 0,35 | 0,55 | 0,9 0 0,35 0,55 0,9
Na segunda fase da corrida a aceleração é definida pela seguinte expressão:
a(t) = 0,5 t^2 - 0,15 t, com t em [1,5 ; 7,5]
Estime a velocidade na segunda fase da corrida, utilizando a fórmula composta do Trapézio com erro de truncatura em valor absoluto inferior a 0.3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma corrida de dragsters que tem duas fases. A gente precisa calcular a velocidade na segunda fase da corrida. Para isso, vamos usar uma técnica chamada regra do Trapézio composta. Primeiro, vamos entender que a velocidade é a integral da aceleração ao longo do tempo. Na segunda fase, a aceleração é dada por uma função matemática, então vamos integrar essa função usando a regra do Trapézio para estimar a velocidade, garantindo que o erro dessa estimativa seja menor que 0,3.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o intervalo de tempo para a segunda fase da corrida, que vai de segundos até segundos. Então, o intervalo total é de segundos.

Passo 3

A função de aceleração na segunda fase é dada por:
Queremos encontrar a velocidade, que é a integral da aceleração. Ou seja:

Passo 4

Vamos aplicar a regra do Trapézio composta para estimar essa integral. A regra do Trapézio aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em subintervalos e calculando áreas de trapézios.
A fórmula da regra do Trapézio com subintervalos é:
onde .

Passo 5

Precisamos escolher um número de subintervalos que garanta que o erro de truncamento seja menor que 0,3. O erro da regra do Trapézio é dado por:
Vamos calcular a segunda derivada de :
Então, .
Para garantir :
Arredondamos para .

Passo 6

Agora, vamos dividir o intervalo de a segundos em subintervalos. Cada subintervalo tem:
Os pontos são: , , , , , , , , .

Passo 7

Vamos calcular em cada ponto:

Passo 8

Aplicando a fórmula da regra do Trapézio:
Substituindo os valores:

Passo 9

Calculando dentro dos parênteses:
Então:

Resposta

A velocidade na segunda fase da corrida é aproximadamente .

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