Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada por
(a) sigma(t) = (t, cos(t), sen(t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da curva definida pela equação vetorial . Isso significa que vamos trabalhar com coordenadas paramétricas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como cada componente da função influencia a posição da curva no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a equação vetorial nas suas componentes individuais:
Isso nos mostra como cada coordenada (x, y, z) varia com o parâmetro t.

Passo 3

Observando , sabemos que à medida que t aumenta, a coordenada x também aumenta linearmente. Isso indica que a curva se estende indefinidamente ao longo do eixo x.

Passo 4

Agora, olhando para e , percebemos que essas duas funções são periódicas e oscilam entre -1 e 1. Além disso, elas estão relacionadas como as funções cosseno e seno, que descrevem movimentos circulares.

Passo 5

Juntando as informações das etapas anteriores, vemos que para cada valor de t, a posição da curva se move para frente no eixo x e, simultaneamente, descreve um movimento circular no plano . Isso é a característica de uma hélice.

Passo 6

Portanto, a curva é uma hélice circular que se enrola ao redor do eixo x. A coordenada x representa o avanço linear da hélice, enquanto as coordenadas y e z descrevem o movimento circular ao redor do eixo.

Resposta

O gráfico da curva dada por é uma hélice circular que avança ao longo do eixo x, com as coordenadas y e z descrevendo um círculo no plano perpendicular ao eixo x.

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