Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada por
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da curva definida pela equação vetorial
. Isso significa que vamos trabalhar com coordenadas paramétricas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como cada componente da função influencia a posição da curva no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a equação vetorial nas suas componentes individuais:
Isso nos mostra como cada coordenada
varia com o parâmetro
.
Passo 3
Observando
, sabemos que à medida que
aumenta, a coordenada
também aumenta linearmente. Isso indica que a curva se estende indefinidamente ao longo do eixo
.
Passo 4
Agora, olhando para
e
, percebemos que essas duas funções são periódicas e oscilam entre -1 e 1. Além disso, elas estão relacionadas como as funções cosseno e seno, que descrevem movimentos circulares.
Passo 5
Juntando as informações das etapas anteriores, vemos que para cada valor de
, a posição da curva se move para frente no eixo
e, simultaneamente, descreve um movimento circular no plano
. Isso é a característica de uma hélice.
Passo 6
Portanto, a curva
é uma hélice circular que se enrola ao redor do eixo
. A coordenada
representa o avanço linear da hélice, enquanto as coordenadas
e
descrevem o movimento circular ao redor do eixo.
Resposta
O gráfico da curva dada por
é uma hélice circular que avança ao longo do eixo
, com as coordenadas
e
descrevendo um círculo no plano perpendicular ao eixo
.