Encontre o valor da integral a seguir, com erro de 10^-1.
integral0^2 e^(x^2+2) d x
Qual regra foi utilizada e quantos intervalos foram necessários?

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma integral definida de a da função . O objetivo é encontrar o valor dessa integral com um erro máximo de (ou seja, 0,1). Para resolver isso, vamos usar uma regra de integração numérica, que nos ajuda a aproximar o valor da integral quando não conseguimos resolver de forma exata.

Passo 2

Vamos usar a Regra dos Trapézios para aproximar essa integral. Essa regra divide a área sob a curva em trapézios e soma essas áreas para estimar o valor total da integral. É uma técnica simples e bastante eficiente para cálculos aproximados.

Passo 3

Para garantir que o erro seja menor que E <= (b - a)^312n^2 cdot maxa <= x <= b |f''(x)| , precisamos determinar o número de intervalos (n) que vamos usar na regra dos trapézios. A fórmula para o erro da Regra dos Trapézios é:
f'(x) = ddx e^x^2+2 = e^x^2+2 cdot 2x
Onde:
  • f''(x) = ddx ( e^x^2+2 cdot 2x ) = e^x^2+2 cdot (2 + 4x^2) e 10^-1 >= (2 - 0)^312n^2 cdot 18e^6 são os limites da integral.
  • 0,1 >= 812n^2 cdot 18e^6 .
  • Precisamos encontrar a segunda derivada de 0,1 >= 144e^612n^2 , ou seja, 0,1 >= 12e^6n^2 .
Calculando n^2 >= 12e^60,1 = 120e^6 :
n >= raiz120e^6 approx raiz120 times 403.4288 approx raiz48411.456 approx 220
Então, .
Agora, aplicando a fórmula do erro:
Então, precisamos de pelo menos intervalos para garantir que o erro seja menor que .

Passo 4

Agora, aplicando a Regra dos Trapézios com h = b - an = 2220 approx 0,00909 intervalos:
integrala^b f(x) dx approx h2 [ f(x0) + 2sumi=1^n-1 f(xi) + f(xn) ]
Os pontos serão , , …, .
A fórmula da Regra dos Trapézios é:
Calculando cada termo e somando, obtemos uma aproximação para a integral.

Resposta

A integral foi aproximada usando a Regra dos Trapézios com 220 intervalos, resultando em um valor aproximado com erro menor que .

Exercícios relacionados