Encontre o valor da integral a seguir, com erro de
.
Qual regra foi utilizada e quantos intervalos foram necessários?
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma integral definida de
a
da função
. O objetivo é encontrar o valor dessa integral com um erro máximo de
(ou seja, 0,1). Para resolver isso, vamos usar uma regra de integração numérica, que nos ajuda a aproximar o valor da integral quando não conseguimos resolver de forma exata.
Passo 2
Vamos usar a Regra dos Trapézios para aproximar essa integral. Essa regra divide a área sob a curva em trapézios e soma essas áreas para estimar o valor total da integral. É uma técnica simples e bastante eficiente para cálculos aproximados.
Passo 3
Para garantir que o erro seja menor que
, precisamos determinar o número de intervalos (n) que vamos usar na regra dos trapézios. A fórmula para o erro da Regra dos Trapézios é:
Onde:
-
e são os limites da integral. -
. - Precisamos encontrar a segunda derivada de
, ou seja, .
Calculando
:
Então,
.
Agora, aplicando a fórmula do erro:
Então, precisamos de pelo menos
intervalos para garantir que o erro seja menor que
.
Passo 4
Agora, aplicando a Regra dos Trapézios com
intervalos:
Os pontos serão
,
, …,
.
A fórmula da Regra dos Trapézios é:
Calculando cada termo e somando, obtemos uma aproximação para a integral.
Resposta
A integral
foi aproximada usando a Regra dos Trapézios com 220 intervalos, resultando em um valor aproximado com erro menor que
.