Em uma corrida de 1 km, o corredor 1 da raia 1 (com o tempo de 2 min e 27,95 s) parece ser mais rápido que o corredor 2 da raia 2 (cujo tempo é 2 min e 28,15s). Entretanto, o comprimento L2 da raia 2 pode ser ligeiramente maior que o comprimento L1 da raia 1. Qual é o maior valor dadiferença L2-L1 para a qual a conclusão de que o corredor 1 é mais rápido é verdadeira?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente está falando sobre duas corridas de 1 km, onde o corredor 1 da raia 1 completou o percurso em 2 minutos e 27,95 segundos, e o corredor 2 da raia 2 fez o mesmo percurso em 2 minutos e 28,15 segundos. A parada é que o comprimento da raia 2 pode ser um pouquinho maior que o da raia 1. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a maior diferença entre os comprimentos das raias 2 e 1 (L₂ - L₁) para que a conclusão de que o corredor 1 é mais rápido ainda seja válida. Vamos usar conceitos de velocidade e tempo para resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que sabemos e o que precisamos encontrar.
- Tempo do corredor 1 (T₁): 2 minutos e 27,95 segundos
- Tempo do corredor 2 (T₂): 2 minutos e 28,15 segundos
- Comprimento da raia 1 (L₁): 1 km = 1000 metros
- Comprimento da raia 2 (L₂): 1000 metros + diferença (ΔL = L₂ - L₁)
Queremos encontrar o valor máximo de ΔL onde o corredor 1 ainda é mais rápido que o corredor 2, mesmo com a raia 2 sendo um pouco mais longa.
Passo 3
Vamos lembrar de uma fórmula importante: Velocidade = Distância / Tempo.
Mas, pra facilitar, podemos pensar em Tempo = Distância / Velocidade. Isso nos ajuda a comparar diretamente os tempos dos corredores considerando possíveis diferenças nas distâncias que eles percorreram.
Passo 4
Queremos que o corredor 1 seja mais rápido que o corredor 2, mesmo que a raia 2 seja mais longa. Isso significa que o tempo do corredor 1 deve ser menor que o tempo do corredor 2 ajustado pela diferença de distância.
Matematicamente, queremos que:
Mas sabemos que:
Substituindo na primeira equação:
Isso simplifica para:
No entanto, precisamos considerar a diferença de distância. Vamos reestruturar de outra forma.
Vamos assumir que ambos os corredores têm a mesma velocidade média, mas devido à diferença na distância, os tempos podem variar. Para encontrar a diferença máxima ΔL onde T₁ ainda é menor que T₂, podemos rearranjar a fórmula do tempo:
Queremos que:
Assumindo que $ V₁ = V₂ $ (para achar o limite), temos:
Isso é sempre verdade, então precisamos reavaliar nossa abordagem.
Passo 5
Vamos usar a diferença nos tempos para relacionar com a diferença nas distâncias. Sabemos que:
Para o corredor 1 ser mais rápido, sua velocidade deve ser maior que a do corredor 2:
Substituindo $ L₂ = L₁ + ΔL $:
Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar ΔL:
Multiplicando ambos os lados por $ T₁ $ e $ T₂ $ para eliminar os denominadores:
Distribuindo $ T₁ $ na expressão da direita:
Isolando ΔL:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
- $ L₁ = 1000 $ metros
- $ T₁ = 2 $ minutos e $ 27,95 $ segundos = $ 2 \times 60 + 27,95 = 147,95 $ segundos
- $ T₂ = 2 $ minutos e $ 28,15 $ segundos = $ 2 \times 60 + 28,15 = 148,15 $ segundos
Substituindo na fórmula:
Resposta
A maior diferença possível entre os comprimentos das raias 2 e 1 para que o corredor 1 seja considerado mais rápido é de aproximadamente 1,35 metros.