Em uma corrida, um pai tem metade da energia cinética do filho, que tem metade da massa do pai. Aumentando sua velocidade em 1,0 m/s, o pai passa a ter a mesma energia cinética do filho. Quais são as velocidades escalares iniciais do pai e do filho?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pai e um filho numa corrida. Inicialmente, a energia cinética do pai é metade da energia cinética do filho. Além disso, o filho tem metade da massa do pai. Quando o pai aumenta sua velocidade em 1,0 m/s, ele passa a ter a mesma energia cinética que o filho. Nosso objetivo é descobrir as velocidades iniciais do pai e do filho.
Nesse problema, vamos usar conceitos de cinemática e energia cinética. Vamos precisar das fórmulas da energia cinética e entender como as massas e velocidades estão relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da energia cinética:
Onde:
- $ E_c $ é a energia cinética,
- $ m $ é a massa,
- $ v $ é a velocidade.
Vamos chamar:
- Massa do pai de $ m_p $,
- Massa do filho de $ m_f $,
- Velocidade inicial do pai de $ v_p $,
- Velocidade inicial do filho de $ v_f $.
De acordo com o enunciado:
- $ E_{c_p} = \frac{1}{2} E_{c_f} $ (energia cinética do pai é metade do filho),
- $ m_f = \frac{1}{2} m_p $ (massa do filho é metade do pai).
Além disso, quando o pai aumenta sua velocidade em 1,0 m/s:
Onde $ E_{c_p}’ = \frac{1}{2} m_p (v_p + 1)^2 $.
Passo 3
Vamos expressar as energias cinéticas:
- Energia cinética do pai inicialmente:
- Energia cinética do filho:
Segundo o enunciado, $ E_{c_p} = \frac{1}{2} E_{c_f} $:
Simplificando:
Podemos cancelar $ \frac{1}{2} m_p $ de ambos os lados:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 4
Agora, quando o pai aumenta sua velocidade em 1,0 m/s, sua energia cinética passa a ser igual à do filho:
Substituindo $ m_f = \frac{1}{2} m_p $:
Simplificando:
Cancelando $ \frac{1}{2} m_p $ de ambos os lados:
Lembrando que $ v_p = \frac{v_f}{\sqrt{2}} $, substituímos na equação:
Passo 5
Vamos expandir o lado esquerdo da equação:
Igualando ao lado direito:
Subtraindo $ \frac{v_f^2}{2} $ de ambos os lados:
Resolvendo para $ v_f $:
Passo 6
Obtemos uma velocidade negativa para o filho, o que não faz sentido no contexto da corrida, já que velocidades são escalares positivas. Isso indica que não há solução física para o problema com os dados fornecidos, ou que houve um erro nos pressupostos.
Resposta
Não há solução física para as velocidades iniciais do pai e do filho com os dados fornecidos no enunciado.