Em uma corrida, um pai tem metade da energia cinética do filho, que tem metade da massa do pai. Aumentando sua velocidade em 1,0 m/s, o pai passa a ter a mesma energia cinética do filho. Quais são as velocidades escalares iniciais do pai e do filho?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pai e um filho numa corrida. Inicialmente, a energia cinética do pai é metade da energia cinética do filho. Além disso, o filho tem metade da massa do pai. Quando o pai aumenta sua velocidade em 1,0 m/s, ele passa a ter a mesma energia cinética que o filho. Nosso objetivo é descobrir as velocidades iniciais do pai e do filho.
Nesse problema, vamos usar conceitos de cinemática e energia cinética. Vamos precisar das fórmulas da energia cinética e entender como as massas e velocidades estão relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da energia cinética:
Ec = 12 m v^2
Onde:
  • $ E_c $ é a energia cinética,
  • $ m $ é a massa,
  • $ v $ é a velocidade.
Vamos chamar:
  • Massa do pai de $ m_p $,
  • Massa do filho de $ m_f $,
  • Velocidade inicial do pai de $ v_p $,
  • Velocidade inicial do filho de $ v_f $.
De acordo com o enunciado:
  1. $ E_{c_p} = \frac{1}{2} E_{c_f} $ (energia cinética do pai é metade do filho),
  2. $ m_f = \frac{1}{2} m_p $ (massa do filho é metade do pai).
Além disso, quando o pai aumenta sua velocidade em 1,0 m/s:
Ec
Onde $ E_{c_p}’ = \frac{1}{2} m_p (v_p + 1)^2 $.

Passo 3

Vamos expressar as energias cinéticas:
  1. Energia cinética do pai inicialmente:
Ecp = 12 mp vp^2
  1. Energia cinética do filho:
Ecf = 12 mf vf^2
Segundo o enunciado, $ E_{c_p} = \frac{1}{2} E_{c_f} $:
Ecp = 12 Ecf
Simplificando:
12 mp vp^2 = 12 ( 12 mp ) vf^2
Podemos cancelar $ \frac{1}{2} m_p $ de ambos os lados:
12 mp vp^2 = 14 mp vf^2
Tomando a raiz quadrada:
12 mp

Passo 4

Agora, quando o pai aumenta sua velocidade em 1,0 m/s, sua energia cinética passa a ser igual à do filho:
12 mp (vp + 1)^2 = 12 mf vf^2
Substituindo $ m_f = \frac{1}{2} m_p $:
mf = 12 mp
Simplificando:
12 mp (vp + 1)^2 = 12 ( 12 mp ) vf^2
Cancelando $ \frac{1}{2} m_p $ de ambos os lados:
12 mp (vp + 1)^2 = 14 mp vf^2
Lembrando que $ v_p = \frac{v_f}{\sqrt{2}} $, substituímos na equação:
12 mp

Passo 5

Vamos expandir o lado esquerdo da equação:
( vfraiz2 + 1 )^2 = vf^22 + raiz2 vf + 1
Igualando ao lado direito:
vf^22 + raiz2 vf + 1 = vf^22
Subtraindo $ \frac{v_f^2}{2} $ de ambos os lados:
vf^22
Resolvendo para $ v_f $:
raiz2 vf + 1 = 0

Passo 6

Obtemos uma velocidade negativa para o filho, o que não faz sentido no contexto da corrida, já que velocidades são escalares positivas. Isso indica que não há solução física para o problema com os dados fornecidos, ou que houve um erro nos pressupostos.

Resposta

Não há solução física para as velocidades iniciais do pai e do filho com os dados fornecidos no enunciado.

Exercícios relacionados