Num parque de diversões um dos brinquedos consiste em usar um canhão fixo,inclinado,fazendo um ângulo igual a 45° com o solo,para atingir uma pequena bola suspensa a 3,0m de altura e a uma distância horizontal de 5,0m do canhão.Determine a velocidade inicial que deve ser imprimida ao projétil para se conseguir acertar o alvo.
(Dados:g=10 m/s²;sen45=cos45= raiz de 2/2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um canhão inclinado a 45° que precisa acertar uma bola a 3 metros de altura e 5 metros de distância horizontal. A gente vai usar conceitos de movimento projetado, especificamente descompor o movimento em direções horizontal e vertical. Para isso, vamos precisar das fórmulas de movimento uniformemente acelerado e das componentes de vetores usando senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da velocidade inicial do projétil. Como o canhão está inclinado a 45°, a velocidade inicial $ v_0 $ tem duas partes: uma horizontal ($ v_{0x} v0 v_{0y} $). Usando que $ \sin45° = \cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2} $, temos:
v0x
v0y

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento horizontal. Não tem aceleração nessa direção, então a distância horizontal $ x $ é dada por:
x
Sabemos que $ x = 5,0 $ m, então:
x = v0x cdot t

Passo 4

Agora, vamos para o movimento vertical. Aqui, temos a aceleração da gravidade ($ g = 10 $ m/s²) atuando para baixo. A posição vertical $ y $ é dada por:
g = 10
Sabemos que $ y = 3,0 $ m, então substituindo:
y

Passo 5

Vamos substituir $ t $ da equação horizontal na equação vertical:
t
Simplificando o primeiro termo:
3,0 = v0 cdot raiz22 cdot 10v0 raiz2 - 5 ( 10v0 raiz2 )^2
E o segundo termo:
v0 cdot raiz22 cdot 10v0 raiz2 = 102 = 5
Então, a equação fica:
5 ( 100v0^2 cdot 2 ) = 500v0^2 cdot 2 = 250v0^2

Passo 6

Vamos resolver a equação para $ v_0 $:
v0
3,0 = 5 - 250v0^2 Rightarrow 250v0^2 = 5 - 3 = 2
v0^2 = 2502 = 125

Resposta

A velocidade inicial que deve ser imprimida ao projétil é aproximadamente 11,18 m/s.

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