Vamos analisar o exercício que nos dá uma função definida por partes e nos pede para determinar o domínio dela, calcular um valor específico, verificar onde ela é crescente ou decrescente, e encontrar o valor mínimo. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre funções por partes, avaliação de funções e análise de comportamento de funções.
Passo 2
a) Determinar o domínio da função f.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a função:
Temos três partes:
Para , ;
Para , ;
Para , .
Não há restrições que limitem os valores de além desses intervalos, ou seja, a função está definida para todo real. Portanto, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais, .
Passo 3
b) Calcular o valor de .
Primeiro, vamos simplificar :
Agora, vamos ver em qual parte da função esse valor de se encaixa. Como é menor que , usamos a primeira parte da função:
Portanto, .
Passo 4
c) Verificar onde a função é crescente, decrescente e constante.
Vamos analisar cada trecho da função:
Para : é uma constante, então a função é constante nesse intervalo.
Para : é uma função linear com coeficiente angular positivo (). Isso significa que a função é crescente nesse intervalo.
Para : é uma parábola que abre para baixo (). A derivada dessa função é:
Quando (), a função é crescente.
Quando (), a função é decrescente.
No ponto , a função atinge o ponto máximo.
Resumindo:
Crescente para ;
Decrescente para ;
Constante para .
Passo 5
d) Encontrar o valor mínimo da função .
Parece que há um pequeno erro no enunciado. Supondo que queremos encontrar o valor de para o qual , vamos resolver para cada parte da função:
Para : . Como , não há solução nesse intervalo.
Para :
Mas não está incluído nesse intervalo, então também não há solução aqui.
Para :
Multiplicando por :
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, o único valor de que satisfaz é .
Resposta
(a) O domínio da função é todo o conjunto dos números reais, .