Corsitiare a finç̧o definida per:
Marque as resposias conolase
( a) 0 donitio da funcio fer R:
(b) o valor de e-ks
© A funcho f é crescente puas , decreateme para e coastant para ,
(d) 0 valor mibeino da funclo .

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos dá uma função definida por partes e nos pede para determinar o domínio dela, calcular um valor específico, verificar onde ela é crescente ou decrescente, e encontrar o valor mínimo. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre funções por partes, avaliação de funções e análise de comportamento de funções.

Passo 2

a) Determinar o domínio da função f.

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a função:
Temos três partes:
  1. Para , ;
  2. Para , ;
  3. Para , .
Não há restrições que limitem os valores de além desses intervalos, ou seja, a função está definida para todo real. Portanto, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais, .

Passo 3

b) Calcular o valor de .

Primeiro, vamos simplificar :
Agora, vamos ver em qual parte da função esse valor de se encaixa. Como é menor que , usamos a primeira parte da função:
Portanto, .

Passo 4

c) Verificar onde a função é crescente, decrescente e constante.

Vamos analisar cada trecho da função:
  1. Para : é uma constante, então a função é constante nesse intervalo.
  2. Para : é uma função linear com coeficiente angular positivo ( ). Isso significa que a função é crescente nesse intervalo.
  3. Para : é uma parábola que abre para baixo ( ). A derivada dessa função é:
  • Quando ( ), a função é crescente.
  • Quando ( ), a função é decrescente.
  • No ponto , a função atinge o ponto máximo.
Resumindo:
  • Crescente para ;
  • Decrescente para ;
  • Constante para .

Passo 5

d) Encontrar o valor mínimo da função .

Parece que há um pequeno erro no enunciado. Supondo que queremos encontrar o valor de para o qual , vamos resolver para cada parte da função:
  1. Para : . Como , não há solução nesse intervalo.
  2. Para :
Mas não está incluído nesse intervalo, então também não há solução aqui.
  1. Para :
Multiplicando por :
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, o único valor de que satisfaz é .

Resposta

(a) O domínio da função é todo o conjunto dos números reais, .
(b) .
© A função é crescente para , decrescente para e constante para .
(d) O único valor onde é .

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