Para , determine se a série converge ou diverge. Justifique!

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita que depende de um valor maior que 1. A série é dada por:
A gente quer descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência, como o teste da série p.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
Essa expressão tem um fator , o que indica que a série é alternada (os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa). Mas o que realmente vai determinar a convergência aqui é o comportamento do valor absoluto desse termo.

Passo 3

Vamos analisar o valor absoluto de :
Agora, sabemos que para valores pequenos de , . Como fica cada vez menor conforme cresce, podemos aproximar:
Então, o valor absoluto fica aproximadamente:

Passo 4

Agora, vamos comparar essa aproximação com uma série conhecida, a série p:
Sabemos que essa série converge se . No nosso caso, . Como , então:
Isso significa que a série de termos absolutos:
converge. Como a série original é alternada e os termos absolutos dela também convergem, podemos concluir que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente para todo .

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Seja . Calcule as duas integrais do enunciado do Teorema de Green, onde é a região triangular de vértices e .
Corte de Chapas
Um revendedor de chapas e perfis metálicos recebe da usina siderúrgica determinado tipo de chapa em rolos padronizados de 0,80 m e 1,50 m de largura. Os clientes compram na largura que necessitam e o revendedor corta as chapas conforme o pedido.
Para a próxima semana, recebeu três pedidos com as seguintes especificações:
PEDIDO LARGURA (m) COMPRIMENTO (m)
1 0,40 10
2 0,60 30
3 0,70 20
O problema do revendedor é programar o corte das chapas originais de modo a atender aos três pedidos, com o mínimo desperdício de aparas e sobras na largura das chapas. As dimensões de comprimento não criam grandes inconvenientes, porque as chapas podem ser emendadas para outras aplicações.
Seja e o disco de centro e raio 1. Calcule
para orientada no sentido anti-horário.
Calcule os limites.