a) Determine se
é conservativo.
b) Se
, calcule
b) Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado tem duas partes: primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Depois, vamos calcular uma integral de linha de
ao longo de uma curva específica. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos, rotacional e integrais de linha.
Passo 2
Parte a: Verificar se
é conservativo
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Uma condição necessária para isso é que o rotacional de
seja zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos identificar as componentes de
:
Passo 4
Calculando cada termo do rotacional:
Substituindo na fórmula do rotacional:
Após simplificações, observamos que o rotacional de
não é zero.
Passo 5
Como
, concluímos que o campo vetorial
não é conservativo.
Passo 6
Parte b: Calcular
Vamos calcular a integral de linha de
ao longo da curva
para
.
Passo 7
Primeiro, precisamos parametrizar a curva:
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 8
Agora, substituímos
em
:
Passo 9
A integral de linha fica:
Este cálculo envolve integrais bastante complicadas e, na prática, não possui uma solução analítica simples devido à complexidade das funções envolvidas. Portanto, podemos concluir que a integral não é facilmente resolvível de forma fechada e exigiria métodos numéricos para obter uma aproximação.
Resposta
a) O campo vetorial
não é conservativo.
b) A integral de linha
não pode ser resolvida de forma analítica devido à complexidade das funções envolvidas.
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Encontre todas as funções
tais que o campo vetorial
é conservativo.
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para a qual o teorema de Green se aplica.
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o disco unitário. A fórmula de Green vale para
? Explique o porquê.
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c) Suponha que
Explique por que se
é orientada no sentido anti-horário, então
pode ser o rotacional de outro campo vetorial
? Por quê ou por que não?