F=(2 x+z) cos (x^2+x z) i-(z+1) sin (y+y z) j+(x cos (x^2+x z)-y sin (y+y z)) k
a) Determine se F é conservativo.
b) Se r(t)=(t^3, t^2, pi t-sin (pi t2)), 0 <= t <= 1, calcule integralC F cdot d s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado tem duas partes: primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Depois, vamos calcular uma integral de linha de ao longo de uma curva específica. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos, rotacional e integrais de linha.

Passo 2

Parte a: Verificar se é conservativo
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que . Uma condição necessária para isso é que o rotacional de seja zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Fkpartial y - partial Fjpartial z ) i + ( partial Fipartial z - partial Fkpartial x ) j + ( partial Fjpartial x - partial Fipartial y ) k . O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Fi = (2x + z) cos(x^2 + xz)
Vamos identificar as componentes de Fj = - (z + 1) sin(y + yz) :
Fk = x cos(x^2 + xz) - y sin(y + yz)

Passo 4

Calculando cada termo do rotacional:
  1. nabla times F = ( - sin(y + yz) - yz cos(y + yz) - (- sin(y + yz) - y(z + 1) cos(y + yz)) ) i + dots
Substituindo na fórmula do rotacional:
Após simplificações, observamos que o rotacional de não é zero.

Passo 5

Como , concluímos que o campo vetorial não é conservativo.

Passo 6

Parte b: Calcular
Vamos calcular a integral de linha de ao longo da curva para .

Passo 7

Primeiro, precisamos parametrizar a curva:
r(t) = (t^3, t^2, pi t - sin (pi t2))
Vamos calcular a derivada de r'(t) = (3t^2, 2t, pi - pi2 cos(pi t2)) em relação a :

Passo 8

Agora, substituímos F(r(t)) = (2t^3 + pi t - sin(pi t2)) cos(t^6 + t^4(pi t - sin(pi t2))) i - (pi t - sin(pi t2) + 1) sin(t^2 + t^2(pi t - sin(pi t2))) j + (t^3 cos(t^6 + t^4(pi t - sin(pi t2))) - t^2 sin(t^2 + t^2(pi t - sin(pi t2))) ) k em :

Passo 9

A integral de linha fica:
integral0^1 F(r(t)) cdot r'(t) , dt
Este cálculo envolve integrais bastante complicadas e, na prática, não possui uma solução analítica simples devido à complexidade das funções envolvidas. Portanto, podemos concluir que a integral não é facilmente resolvível de forma fechada e exigiria métodos numéricos para obter uma aproximação.

Resposta

a) O campo vetorial não é conservativo.
b) A integral de linha não pode ser resolvida de forma analítica devido à complexidade das funções envolvidas.

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