a) Determine se é conservativo.
b) Se , calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado tem duas partes: primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Depois, vamos calcular uma integral de linha de ao longo de uma curva específica. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos, rotacional e integrais de linha.

Passo 2

Parte a: Verificar se é conservativo
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que . Uma condição necessária para isso é que o rotacional de seja zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de . O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos identificar as componentes de :

Passo 4

Calculando cada termo do rotacional:
Substituindo na fórmula do rotacional:
Após simplificações, observamos que o rotacional de não é zero.

Passo 5

Como , concluímos que o campo vetorial não é conservativo.

Passo 6

Parte b: Calcular
Vamos calcular a integral de linha de ao longo da curva para .

Passo 7

Primeiro, precisamos parametrizar a curva:
Vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 8

Agora, substituímos em :

Passo 9

A integral de linha fica:
Este cálculo envolve integrais bastante complicadas e, na prática, não possui uma solução analítica simples devido à complexidade das funções envolvidas. Portanto, podemos concluir que a integral não é facilmente resolvível de forma fechada e exigiria métodos numéricos para obter uma aproximação.

Resposta

a) O campo vetorial não é conservativo.
b) A integral de linha não pode ser resolvida de forma analítica devido à complexidade das funções envolvidas.

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