ointC-y^3 d x+(x^3+2 x+y) d y
é positiva para qual curva fechada C para a qual o teorema de Green se aplica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma integral de linha dada por:
ointC-y^3 dx + (x^3 + 2x + y) dy
O que a gente quer saber é para qual curva fechada essa integral é positiva, usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo nessa integral.

Passo 2

Primeiro, o Teorema de Green nos ajuda a transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx dy em uma integral dupla sobre a região que envolve. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, e . Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula.

Passo 3

Vamos calcular partial Qpartial x = partialpartial x (x^3 + 2x + y) = 3x^2 + 2 :
partial Ppartial y = partialpartial y (-y^3) = -3y^2
Agora, :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( 3x^2 + 2 - (-3y^2) ) dx dy = integral duplaD (3x^2 + 3y^2 + 2) dx dy
A gente observa que é uma função que sempre dá um número positivo, já que e são sempre positivos ou zero, e somando 2 isso garante que nunca será negativo.

Passo 5

Como a integral dupla de uma função sempre positiva sobre a região vai resultar em um valor positivo, isso significa que a integral de linha original também será positiva. Portanto, para qualquer curva fechada que forme uma região onde o Teorema de Green se aplica (ou seja, é simples, plana e positivamente orientada), a integral será positiva.

Resposta

A integral é positiva para qualquer curva fechada simples, plana e positivamente orientada onde o Teorema de Green se aplica.

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