é positiva para qual curva fechada
para a qual o teorema de Green se aplica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma integral de linha dada por:
O que a gente quer saber é para qual curva fechada
essa integral é positiva, usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo nessa integral.
Passo 2
Primeiro, o Teorema de Green nos ajuda a transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
em uma integral dupla sobre a região
que
envolve. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora,
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
A gente observa que
é uma função que sempre dá um número positivo, já que
e
são sempre positivos ou zero, e somando 2 isso garante que nunca será negativo.
Passo 5
Como a integral dupla de uma função sempre positiva sobre a região
vai resultar em um valor positivo, isso significa que a integral de linha original também será positiva. Portanto, para qualquer curva fechada
que forme uma região
onde o Teorema de Green se aplica (ou seja,
é simples, plana e positivamente orientada), a integral será positiva.
Resposta
A integral é positiva para qualquer curva fechada
simples, plana e positivamente orientada onde o Teorema de Green se aplica.
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? Por quê ou por que não?
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a parte real de
e
a parte imaginária. Mostre que as seguintes relações são válidas para quaisquer números complexos
.
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Encontre todas as funções
tais que o campo vetorial
é conservativo.
a) Determine se
é conservativo.
b) Se , calcule
b) Se