pode ser o rotacional de outro campo vetorial ? Por quê ou por que não?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente tem um campo vetorial definido por:
A pergunta é: esse campo pode ser o rotacional (ou seja, o “curl”) de outro campo vetorial ? Pra resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de cálculo de campos vetoriais, especificamente o rotacional e a divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se um campo vetorial é o rotacional de algum outro campo , então a divergência de precisa ser zero. Isso é conhecido como uma condição necessária para que seja um rotacional.

Passo 3

Então, vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Onde , e são as componentes de .

Passo 4

Calculando cada parte:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Somando tudo:

Passo 5

Observamos que não é igual a zero; na verdade, depende de , e . Isso significa que a divergência de não satisfaz a condição necessária para que seja o rotacional de algum campo .

Resposta

Não, o campo não pode ser o rotacional de outro campo vetorial porque a divergência de não é zero.

Exercícios relacionados

a) Verifique o Teorema de Green sobre a região anular
b) Agora, seja o disco unitário. A fórmula de Green vale para ? Explique o porquê.
c) Suponha que seja qualquer curva simples, fechada pertencente ao exterior do círculo
Explique por que se é orientada no sentido anti-horário, então
a) Determine se é conservativo.
b) Se , calcule
a) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha
onde é a curva forma pelo quadrado de vértices e , orientada no sentido anti-horário.
b) Verifique sua resposta do item a), calculando a integral diretamente.
depende somente da área do retângulo, não da sua posição em .