pode ser o rotacional de outro campo vetorial
? Por quê ou por que não?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente tem um campo vetorial
definido por:
A pergunta é: esse campo pode ser o rotacional (ou seja, o “curl”) de outro campo vetorial
? Pra resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de cálculo de campos vetoriais, especificamente o rotacional e a divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se um campo vetorial
é o rotacional de algum outro campo
, então a divergência de
precisa ser zero. Isso é conhecido como uma condição necessária para que
seja um rotacional.
Passo 3
Então, vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Onde
,
e
são as componentes de
.
Passo 4
Calculando cada parte:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando tudo:
Passo 5
Observamos que
não é igual a zero; na verdade, depende de
,
e
. Isso significa que a divergência de
não satisfaz a condição necessária para que
seja o rotacional de algum campo
.
Resposta
Não, o campo
não pode ser o rotacional de outro campo vetorial
porque a divergência de
não é zero.