pode ser o rotacional de outro campo vetorial
? Por quê ou por que não?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente tem um campo vetorial
definido por:
A pergunta é: esse campo pode ser o rotacional (ou seja, o “curl”) de outro campo vetorial
? Pra resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de cálculo de campos vetoriais, especificamente o rotacional e a divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se um campo vetorial
é o rotacional de algum outro campo
, então a divergência de
precisa ser zero. Isso é conhecido como uma condição necessária para que
seja um rotacional.
Passo 3
Então, vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Onde
,
e
são as componentes de
.
Passo 4
Calculando cada parte:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando tudo:
Passo 5
Observamos que
não é igual a zero; na verdade, depende de
,
e
. Isso significa que a divergência de
não satisfaz a condição necessária para que
seja o rotacional de algum campo
.
Resposta
Não, o campo
não pode ser o rotacional de outro campo vetorial
porque a divergência de
não é zero.
Exercícios relacionados
a) Verifique o Teorema de Green sobre a região anular
b) Agora, seja
o disco unitário. A fórmula de Green vale para
? Explique o porquê.
c) Suponha que seja qualquer curva simples, fechada pertencente ao exterior do círculo
c) Suponha que
Explique por que se
é orientada no sentido anti-horário, então
a) Determine se
é conservativo.
b) Se , calcule
b) Se
a) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha
onde
é a curva forma pelo quadrado de vértices
e
, orientada no sentido anti-horário.
b) Verifique sua resposta do item a), calculando a integral diretamente.
b) Verifique sua resposta do item a), calculando a integral diretamente.
depende somente da área do retângulo, não da sua posição em
.