F = x(y^2 + 1)i + (y * e^x - e^z)j + x^2 * e^z k
pode ser o rotacional de outro campo vetorial G(x, y, z) ? Por quê ou por que não?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente tem um campo vetorial F definido por:
F = x(y^2 + 1)i + (y * e^x - e^z)j + x^2 * e^z k
A pergunta é: esse campo pode ser o rotacional (ou seja, o “curl”) de outro campo vetorial G(x, y, z)? Pra resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de cálculo de campos vetoriais, especificamente o rotacional e a divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se um campo vetorial F é o rotacional de algum outro campo G, então a divergência de F precisa ser zero. Isso é conhecido como uma condição necessária para que F seja um rotacional.

Passo 3

Então, vamos calcular a divergência de F. A divergência é dada por:
Onde , e são as componentes de F.

Passo 4

Calculando cada parte:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Somando tudo:

Passo 5

Observamos que não é igual a zero; na verdade, depende de x, y e z. Isso significa que a divergência de F não satisfaz a condição necessária para que F seja o rotacional de algum campo G.

Resposta

Não, o campo F não pode ser o rotacional de outro campo vetorial G porque a divergência de F não é zero.

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