Encontre todas as funções tais que o campo vetorial é conservativo.

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar todas as funções que tornam o campo vetorial conservativo, onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a condição para que um campo vetorial seja conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o campo vetorial de forma completa. Sabemos que:
Isso significa que:
onde e são as componentes de nas direções e , respectivamente.

Passo 3

Para que o campo vetorial seja conservativo, ele precisa satisfazer a condição:
Isso significa que a derivada parcial de em relação a deve ser igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas.
Primeiro, calculemos :
Aqui, usamos a regra do produto, onde é a derivada de em relação a .
Agora, calculemos :
Essa derivada é direta, já que não depende de .

Passo 5

Igualando as duas derivadas para satisfazer a condição de conservatividade:
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por (desde que ):
Agora, rearranjamos para obter uma equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por :
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Onde é uma constante arbitrária.

Resposta

Todas as funções que tornam o campo vetorial conservativo são da forma:
onde é uma constante real.

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