Encontre todas as funções
tais que o campo vetorial
é conservativo.
Passo 1
Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar todas as funções
que tornam o campo vetorial
conservativo, onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a condição para que um campo vetorial seja conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o campo vetorial
de forma completa. Sabemos que:
Isso significa que:
onde
e
são as componentes de
nas direções
e
, respectivamente.
Passo 3
Para que o campo vetorial
seja conservativo, ele precisa satisfazer a condição:
Isso significa que a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas.
Primeiro, calculemos
:
Aqui, usamos a regra do produto, onde
é a derivada de
em relação a
.
Agora, calculemos
:
Essa derivada é direta, já que
não depende de
.
Passo 5
Igualando as duas derivadas para satisfazer a condição de conservatividade:
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Agora, rearranjamos para obter uma equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
Todas as funções
que tornam o campo vetorial
conservativo são da forma:
onde
é uma constante real.