a) Verifique o Teorema de Green sobre a região anular
b) Agora, seja
o disco unitário. A fórmula de Green vale para
? Explique o porquê.
c) Suponha que
seja qualquer curva simples, fechada pertencente ao exterior do círculo
Explique por que se
é orientada no sentido anti-horário, então
c) Suponha que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente vai trabalhar com o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa no cálculo vetorial para relacionar integrais de linha com integrais de área. O exercício tem três partes:
a) Verificar o Teorema de Green em uma região anular.
b) Verificar se o Teorema de Green vale para o disco unitário.
c) Explicar uma integral de linha específica sobre uma curva orientada anti-horário.
b) Verificar se o Teorema de Green vale para o disco unitário.
c) Explicar uma integral de linha específica sobre uma curva orientada anti-horário.
Para resolver isso, vamos precisar entender bem o Teorema de Green e como ele se aplica a diferentes regiões e curvas. Vamos passo a passo!
Passo 2
a) Verificar o Teorema de Green sobre a região anular
, com
.
Primeiro, o Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
que está dentro de
. A fórmula geral é:
No caso da região anular dada, ela é limitada por duas circunferências: uma de raio 1 e outra de raio
. Para aplicar o Teorema de Green, precisamos garantir que as funções
e
tenham derivadas parciais contínuas nessa região.
Se
for composta pelas duas circunferências, uma orientada no sentido anti-horário e a outra no sentido horário, o Teorema de Green pode ser aplicado diretamente nessa região anular.
Passo 3
b) Agora, seja
o disco unitário. A fórmula de Green vale para
? Explique o porquê.
Quando consideramos
como o disco unitário, estamos lidando com uma região simplesmente concava, delimitada por uma única circunferência de raio 1. Para aplicar o Teorema de Green, precisamos que as funções
e
tenham derivadas parciais contínuas em toda a região, incluindo a fronteira.
No entanto, no disco unitário, se as funções
e
apresentarem singularidades (como dividir por zero no centro, por exemplo), o Teorema de Green não pode ser aplicado diretamente, pois a condição de derivadas contínuas é violada. Portanto, a fórmula de Green não vale para
se houver singularidades dentro do disco unitário.
Passo 4
c) Suponha que
seja qualquer curva simples, fechada pertencente ao exterior do círculo
. Explique por que se
é orientada no sentido anti-horário, então
Aqui, a integral dada é conhecida como a rotacional do campo vetorial
. Essa expressão representa a integral de uma função que mede o ângulo em torno da origem.
Quando
está no exterior de
, a região interior limitada por
não contém o ponto singular na origem (já que
e
está fora de
). Assim, aplicando o Teorema de Green na região interna a
, a integral resulta em
, que corresponde ao número de voltas que a curva
dá em torno da origem.
Resposta
Através dos passos apresentados, verificamos que:
a) O Teorema de Green se aplica à região anular
.
b) A fórmula de Green não vale para o disco unitário se houver singularidades no interior.
c) A integral de linha
é igual a
quando
é orientada no sentido anti-horário e está no exterior de
.