a) Verifique o Teorema de Green sobre a região anular
D=(x, y) mid a^2 <= x^2+y^2 <= 1, com 0
b) Agora, seja D o disco unitário. A fórmula de Green vale para D ? Explique o porquê.
c) Suponha que C seja qualquer curva simples, fechada pertencente ao exterior do círculo
Ca=(x, y) mid x^2+y^2=a^2
Explique por que se C é orientada no sentido anti-horário, então
ointC x d y-y d xx^2+y^2=2 pi

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente vai trabalhar com o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa no cálculo vetorial para relacionar integrais de linha com integrais de área. O exercício tem três partes:
a) Verificar o Teorema de Green em uma região anular.
b) Verificar se o Teorema de Green vale para o disco unitário.
c) Explicar uma integral de linha específica sobre uma curva orientada anti-horário.
Para resolver isso, vamos precisar entender bem o Teorema de Green e como ele se aplica a diferentes regiões e curvas. Vamos passo a passo!

Passo 2

a) Verificar o Teorema de Green sobre a região anular ointC (P,dx + Q,dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA , com .
Primeiro, o Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que está dentro de . A fórmula geral é:
No caso da região anular dada, ela é limitada por duas circunferências: uma de raio 1 e outra de raio . Para aplicar o Teorema de Green, precisamos garantir que as funções e tenham derivadas parciais contínuas nessa região.
Se for composta pelas duas circunferências, uma orientada no sentido anti-horário e a outra no sentido horário, o Teorema de Green pode ser aplicado diretamente nessa região anular.

Passo 3

b) Agora, seja o disco unitário. A fórmula de Green vale para ? Explique o porquê.
Quando consideramos como o disco unitário, estamos lidando com uma região simplesmente concava, delimitada por uma única circunferência de raio 1. Para aplicar o Teorema de Green, precisamos que as funções e tenham derivadas parciais contínuas em toda a região, incluindo a fronteira.
No entanto, no disco unitário, se as funções e apresentarem singularidades (como dividir por zero no centro, por exemplo), o Teorema de Green não pode ser aplicado diretamente, pois a condição de derivadas contínuas é violada. Portanto, a fórmula de Green não vale para se houver singularidades dentro do disco unitário.

Passo 4

c) Suponha que ointC x,dy - y,dxx^2+y^2 = 2pi seja qualquer curva simples, fechada pertencente ao exterior do círculo . Explique por que se é orientada no sentido anti-horário, então
Aqui, a integral dada é conhecida como a rotacional do campo vetorial . Essa expressão representa a integral de uma função que mede o ângulo em torno da origem.
Quando está no exterior de , a região interior limitada por não contém o ponto singular na origem (já que e está fora de ). Assim, aplicando o Teorema de Green na região interna a , a integral resulta em , que corresponde ao número de voltas que a curva dá em torno da origem.

Resposta

Através dos passos apresentados, verificamos que:
a) O Teorema de Green se aplica à região anular .
b) A fórmula de Green não vale para o disco unitário se houver singularidades no interior.
c) A integral de linha é igual a quando é orientada no sentido anti-horário e está no exterior de .

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