Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região limitada pelas curvas
e
e depois encontrar a área dessa região. Para isso, vamos precisar usar conceitos de interseção de curvas e cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Isso acontece quando
e
ao mesmo tempo. Vamos igualar as duas expressões para
:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Com os valores de
, vamos encontrar os respectivos valores de
usando
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Agora, vamos esboçar as curvas. A parábola
abre para a direita, e a reta
tem inclinação negativa. A região limitada fica entre
e
.
Passo 6
Para encontrar a área, vamos integrar a diferença entre as funções que limitam a região. Precisamos expressar
em função de
:
A reta:
A parábola:
A área
é dada por:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Agora, substituímos os limites:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é aproximadamente
unidades de área.
Exercícios relacionados
(a) Calcule o jacobiano da transformação
e de sua inversa.
(b) Calcule as derivadas , no ponto em que
e
.
(b) Calcule as derivadas
Calcule
e
no ponto de coordenadas
e
.
(a) Identifique
como sendo uma reta ou um círculo, conforme seja
ou
.
(b) Determine a imagem da curva pela transformação
.
(b) Determine a imagem da curva
O custo da produção de
quilogramas de ouro provenientes de uma nova mina é
dólares.
(a) Qual o significado da derivada ? Quais são suas unidades?
(a) Qual o significado da derivada