Se as raízes do polinômio característico de uma EDO linear homogênea são {2 + i, 2 - i, 3, 3, 0, 0}, determine: b) a solução geral da EDO.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que as raízes do polinômio característico de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea são
. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa EDO. Para isso, vamos precisar entender como essas raízes influenciam a forma da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as raízes em duas categorias: as raízes complexas e as raízes reais. Nesse caso, temos:
- Raízes complexas:
e - Raízes reais:
(com multiplicidade 2) e (com multiplicidade 2)
Passo 3
Vamos começar lidando com as raízes complexas. Quando temos raízes na forma
, a parte da solução correspondente é dada por:
No nosso caso,
e
. Então, a solução correspondente às raízes complexas é:
Passo 4
Agora, vamos tratar das raízes reais. Primeiro, temos a raiz
com multiplicidade 2. Quando uma raiz real
tem multiplicidade
, a parte da solução correspondente é:
Então, para
:
Passo 5
Última parte: as raízes reais
com multiplicidade 2. Para raízes reais iguais a zero, a solução é da forma:
Isso porque
, simplificando a expressão.
Resposta
Juntando todas as partes, a solução geral da EDO é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.