Se as raízes do polinômio característico de uma EDO linear homogênea são {2 + i, 2 - i, 3, 3, 0, 0}, determine: b) a solução geral da EDO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que as raízes do polinômio característico de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea são . Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa EDO. Para isso, vamos precisar entender como essas raízes influenciam a forma da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as raízes em duas categorias: as raízes complexas e as raízes reais. Nesse caso, temos:
  • Raízes complexas: e
  • Raízes reais: (com multiplicidade 2) e (com multiplicidade 2)

Passo 3

Vamos começar lidando com as raízes complexas. Quando temos raízes na forma , a parte da solução correspondente é dada por:
No nosso caso, e . Então, a solução correspondente às raízes complexas é:

Passo 4

Agora, vamos tratar das raízes reais. Primeiro, temos a raiz com multiplicidade 2. Quando uma raiz real tem multiplicidade , a parte da solução correspondente é:
Então, para :

Passo 5

Última parte: as raízes reais com multiplicidade 2. Para raízes reais iguais a zero, a solução é da forma:
Isso porque , simplificando a expressão.

Resposta

Juntando todas as partes, a solução geral da EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Se as raízes do polinômio característico de uma EDO linear homogênea são {2 + i, 2 - i, 3, 3, 0, 0}, determine: a) a ordem da EDO,
Calcule a integral.
(a) .
(f) .
(j)
(b) .
(g) .
(k) .
© .
(h) .
(l) .
(d) .
(i) .
(m) .
(e) .
Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
;